2.4 Функція розподілу для вироджених систем (функція Фермі-Дірака)

Функція Фермі-Дірака описує вироджені системи ферміонів і має вид

гф-д=-^- (2л1)

екТ +1

Графік цієї функції показаний на рис.2.4. При температурі Т=0К і Е<р ґ(Е)=1, а при Е>р ДЕ)=0. Це означає, що квантові стани, в яких енергія частинок менша від хімічно­го потенціалу р, займаються з ймовірністю 1^ 1, тобто всі вони зайняті. Ймовірність же

зайняття рівнів, енергія частинок на яких исунок більша від хімічного потенціалу, дорівнює

нулю, тобто вони всі вільні. Рівень, на якому енергія частинок дорів­нює хімічному потенціалу, називається рівнем Фермі. При температу­рах, відмінних від абсолютного нуля при Е=р цТі)=1/2. Отже рівень Фермі - це енергетичний рівень, ймовірність зайняття якого частин­ками дорівнює 1/2. При збільшенні температури край функції розподі­лу Фермі-Дірака розмивається, і чим вища температура, тим більше розмиття, яке охоплює інтервал енергій ±1сТ. Це означає, що частинки з енергією меншою, але близькою до рівня Фермі зазнають теплового збудження, тобто одержують теплову енергію, і переходять на більш високі енергетичні рівні за рівень Фермі. Метал, а саме в ньому елект­ронний    газ    описується    цією функцією,

_ представляє для електронів потенціальну яму з

Ід- дискретним енергетичним спектром, показаним кТ на рис.2.5. З нього видно, що максимальну кінетичну енергію при Т=0К мають електрони, які знаходяться на рівні Фермі р. Ця кінетична енергія, відрахована від дна ями (від найнижчого рівня) називається енергією Фермі Ер. Знайдемо

її із умови, що при ТЮК інтеграл І (ЗИ = N

0

кількості частинок, а т"ф_д = 1  . Одержимо

Е=0

І

дорівнює загальній Ер Е

о о

.2/3

Отже,   Ер -

 

2т 1,8л

(2.12)

Тут п=№У - концентрація електронів. При п=1028 м"3 ЕР ~ 1,5 еВ. Зручніше задавати цю енергію характеристичною температурою Фер­мі ТР, яка вводиться із рівняння Ер = кТР. При оціненому значенні ене­ргії Фермі температура Фермі дорівнює ТР=2 104К, яка набагато біль­ша від температури плавлення металів. Цей результат ще раз дово­дить, що електронний газ в металах завжди вироджений.

Оцінимо долю електронів, які при температурі Т зазнають теп­лового збудження, тобто знайдемо долю частинок, які знаходяться в інтервалі кТ енергії поблизу рівня Фермі. Відстань між енергетичними

.„     .      2ЕР   т   .   . ,

рівнями в потенціальній ямі є =-. Тоді кількість енергетичних

N

... .1ггс     кТ   кТгЧ „ . „

рівнів в інтервалі кТ буде — =-. Враховуючи, що електронів у 2

Є 2ЕР

рази більше, ніж рівнів, але ймовірність іх заняття поблизу рівня Фер­мі майже 0,5, одержуємо

^ = ^. (2.13) N 2ЕР

Навіть при температурі 1000К ця доля збуджених електронів не пере­вищує К2%.

Як же змінюється функція Фермі-Дірака при високих темпера­турах? Коли Е-р » кТ, тобто Е » р + кТ, одиницею в знаменнику функції (2.11) можна знехтувати, і функція перейде у функцію (2.7) Максвелла-Больцмана, як і повинно бути у випадку переходу виро­дженої системи в невироджену.

1   ± --

ґф-д(Е)=^ = екте кт=ім-Б(Е). е кт