2.2 Фазовий простір мікрочастинок та його квантування. Густина квантових станів

Стан мікрочастинки характеризується трьома координатами х,у, г і трьома проекціями імпульсу рх, ру, рг. Такий шестимірний простір називається фазовим простором. Величина

6Т=оГї 6Тр=6Ьс «Зу Лг «Зр* &ру арг (2.3)називається елементом цього простору. Тут оТ\= Лк-Лу-дг - елемент об'єму, (1Гр=(Ірх-фу-<1рг - елемент простору імпульсів.

Дня класичної частинки ці величину можуть бути скільки за­вгодно малими, тому що фізичні величини змінюються неперервно. Для квантових же частинок, які мають хвильові властивості, фізичні величини змінюються дискретно. У відповідності з принципом неви­значеності Гейзенберга <1х-с1рх>п; оу-<1рх>п; (Іг арг >п, де її - стала Планка. Тому мінімальний об'єм фазового простору   6Т=аГ¥ оТр= її3.

Для вільних квантових частинок, тобто коли на них не діє сило­ве поле, важливими є їхня кінетична енергія, або імпульс, тому що вони можуть займати будь-яку точку геометричного простору. В цьо­му випадку зручніше користуватись не б-мірним фазовим простором, а    3-мірним простором імпульсів, найменший елемент якого 6ТР=

1і3/У, де V - об'єм системи.

Поділ фазового простору на найменші елементи 6Т, чи <ІГР нази­вається його квантуванням. Знайдемо густину квантових станів спочатку у просторі імпульсів g(p), а потім перейдемо до енергій g(E). Для цього у просторі імпульсів виберемо сферу радіусом р, і порахуємо кількість елементів аТр в сферичному шарі товщиною <ір. На рис.2.1 зображена Уе частина цього шару у першому квадранті. Кількість квантових станів g{p)'dp у цьму сферичному шарі дорівнює відношенню його об'єму 4тгр2(1р до мінімального об'єму елементу 6ТР. Маємо

^л=_р>ф. (2.4)

 

Рисунок 2.1

Я(Р) ф =

Тоді густина квантових станів     е(р) = —— р , (2.5)

Знайдемо функцію g(E). Для цього в рівняння (2.4) підставимоімпульс р = л/2тЕ , і <Ір = л/2т —^= ■ <ІЕ . Після спрощень одер-

2л/е

жимо

§(е) * <зе =       (2т)% -Уе * <зе, звідки маємо для гус-

тини квантових станів по енергіям

8(е) = ^(2т)Кл/е п

(2.6)

Графіки функцій (2.5) і (2.6) густини квантових станів:

+ е(р)

 

+є(е)

 

Із графіків видно, що з ростом р і Е густина g(p) і g(E) квантових станів зростає, а тому критерій частоти зіткнень частинок зменшуєть­ся і може від значення близького до 1 зменшитись до значення набага­то меншого за 1. А це означає, що система із виродженої може стати невиродженою, або кажуть виродження знімається.

Для електронів, враховуючи, що у кожному квантовому стані може знаходитись дві частинки з протилежними спінами, густина ква­нтових станів у два рази більша, ніж за виразами (2.5) і (2.6).

Приклад. З'ясувати характер двох систем: 1) азот при нормаль­них умовах; 2) електронний газ в металах і напівпровідниках.

Оцінимо критерій К виродженості системи. Кількість частинок N=11V, де п-концентрація, V- об'єм системи. Кількість квантових ста­нів

2%У,

Враховуючи, що енергія частинки Е=— кТ, після скорочень одер-

жуємоК=^(ЗткТ)-3'2. 4п

Для азоту маємо: п=2,71025 м"3-це число Лошмідта, т=28 1,66 10"27 кг, Т=273К, 1і=6,62 10"34 Джс, 1с=1,38 10"23 Дж/К. Роз­рахунок дає К=;10"6 «1. Це набагато менше за 1. Отже азот - система не вироджена.

В металах концентрація порядку 51028 м"3, тобто приблизно у 1000 разів більша, маса електрона т=910"31 кг на 5 порядків менша. Це приводить до зростання К. Щоб значення критерію К було в межах 0,5-1, потрібна температура приблизно 105 К. А при таких температу­рах метали в твердій фазі не існують. Отже електронний газ в металах завжди вироджений і описується квантовою статистикою Фермі-Дірака. У напівпровідниках же концентрація електронів на 6 порядків менша, ніж у металах. Тому ця система навіть при кімнатній темпера­турі невироджена і описується класичною статистикою Максвелла-Больцмана.