6.8   Внешнее умножение, его свойства

Определим аналог тензорного умножения для внешних форм — внешнее тензорное умножение (обозначается Л): для Г £ Ар, Б £ Лд положим Г Л 5* := АИ(Т <®> Б).

Лемма 6.8.1 Введенное нами внешнее тензорное умножение обладает следующими свой­ствами: для любых внешних форм Т £ Ар, Б £ Ад, Д £ Аг

1) (Т + А5*) Л Д = Г Л Д + А5* Л Д (дистрибутивность);

2) Б Л Г = ( — 1)'рдТ Л 5* (антикоммутативность) ;

3) (Т Л 5) Л Д = Г Л (5* Л Д) (ассоциативность).

Доказательство.   1) Дистрибутивность следует из дистрибутивности операции <8> и линей­ности оператора АН;. 2) По определению

£ЛГ = АП(£®Г) = ,   1       V ст(5®Г);

ГЛ5 = АН(Г®5) = —Цт  V ст(Г®5).

Рассмотрим координаты тензоров а(8®Т) и а(Т Имеем

ст(5®Г)гь...,гр+д   =   (5®Г)М1),...,Мр+д) =

<т(Т®5)гь...,гр+д   =   (Г®5)М1),...,Мр+д) =

=    Д(1)^--,«СТ(Р) ' Д(р+1),---,гст(Р+д) • (Ю)

Посмотрим, чем отличаются индексы у 5 и Г в выражениях (9) и (10). Индексы в (9) — это а(1),... , ст(д), о-(д+1),... , ст(р + д), а индексы в (10) — это а(р+1),... , ст(р + д), ст(1), ст(д). Пусть т — перестановка

р + 1   ...   р + д      1      ... р 1      ...      д      д+1...   р + д

Тогда, как легко видеть, а(Б <8> Г) = ат(Т <8> 5). Поэтому

5ЛГ = Дут Е I-WOTI

1 ■1)Т(-1)^((7г)(5®Г)

-^ДТД  Е (-1)"Р(5®Г) = (-1ГГЛ5,и нам осталось определить ( — 1)т. Для вычисления знака перестановки надо подсчитать количе­ство элементарных перестановок, ее составляющих. Лекго видеть, что это число равно произ­ведению pq, т.е. ( — 1)т = ( — l)pq, что и требовалось показать.

3) Введем дополнительно обозначение Т\ А Т2 А ... А Тк := Alt(Ti <8> Т2 <8> • • • <8> Тк). Для доказа­тельство ассоциативности нам также понадобится следующее равенство.

Утверждение   6.8.2 Alt((AltQ) <g) Д) = Alt(Q <g) R) для любых тензоров Q е ©°, R G ©°.

Доказательство. Поскольку операция <g> обладает свойством дистрибутивности, а оператор Alt линеен, имеем

Alt ((Alt Q) <g) R)   =   Altffi У (-l)°aQ) ®R

1 \ -

<тЄІ>р

-     . /   у -І)*7 АН(сг(5 <8> Д).

<тЄІ>р

Каждой перестановке а Є Бр поставим в соответствие такую перестановку а Є 5* которая на первых р индексах действует как <т, а остальные оставляет на месте, т.е.

1     ...     р     р + 1   ...   р + q ст(1)   ...   ст(р)   р+1   ... р+д

При этом, очевидно, ( — І)*7 = ( — І)*7. Тогда аС; ® Я = ст(<2 ® Д), и

Alt((Alt Q) <g) Д)   =   і 53(-1Г Alt(3?(Q® Д))

\У{-\У Alt(Q® Д) =

і J] Alt(Q ® Д) = ip! Alt(Q ® Д) Alt(Q (g> Д).

<тЄІ>р

Докажем теперь ассоциативность внешнего умножения. Обозначим С; = Т <8> 5, тогда АН<3 АН (Г® 5) и

(Г Л 5) Л Д   =   АЬДТЛб')® Д) = АИ^АИ^Г®,?)® Д) =

=  АН((АНС}) ® Д) = А11;(<2® Д) = Аг^Т®^® Д) = =  Г Л 5 Л Д.

Аналогично получим, что Г Л (5 Л Д) = Г Л 5 Л Д, т.е. (Г Л 5) Л Д = Г Л (5 Л Д).