2.12    Приложения теоремы Жордана

I. Задача о рекуррентных последовательностях. Пусть заданы первые к элементов х\,... ,хк некоторой числовой последовательности, и пусть известно, что каждый элемент этой последовательности, начиная с номера к + 1, линейно зависит от предыдущих к элементов по формуле жга+1 = а1Хп_к+1 + а2хп-к+2 + • • • + акхп, п > к. Тогда мы можем последовательно вычислять все элементы этой последовательности. Но как быть, если нам, например, нужно вычислить Ж2002) не будем же мы вычислять по этой формуле все элементы подряд. Если посмо­треть на правило, по которому вычисляется каждый следующий элемент, можно заметить, что

г'п-к+1  \ I хп-к+\  \ / хп-к+2

\а\...ак) I       : , тогда видно, что столбцы |       :       I и |       :       | связаны

между собой оператором,

( хп-к+2 \

(

0 1

О \   / ж^+і \

О

V «і а2

1

а-к

A

Ar­поэтому для вычисления любого элемента

г'п-\-к  / \ хп-\-к — 1  / \ хк

последовательности нам достаточно уметь возводить матрицу А в степени. Рассмотрим жорда-нову форму А' матрицы А, пусть С — матрица перехода к жордановому базису, А = СА'С~1, тогда Ап = С А1 С'-1 ■ С А1 С'-1 ■ ... ■ СА'С~1у. А если жорданова форма диагональна, как, напри-

п раз

мер, у рекуррентного соотношения жга+1 = хп + жга_1 (числа Фибоначчи), то она очень легко возводится в любую степень, и мы легко можем получить формулу общего члена этой последо­вательности.

II. Задача о вычислении функций от матриц. Если функция /(ж) достаточно гладкая, т.е. имеет достаточно много производных, то для нее можно написать формулу Тейлора, ко­торая будет иметь достаточно много членов, /(£) = /(А) +   ^ ' (£ — А) +   2', ' (£ — А)  + ... +

/(т)(А),

в качестве последнего слагаемого можно взять

.... Ч* - А)

член в форме Лагранжа). Если матрица А — жорданова клетка, А ( ДА)

например, /А 1

V о

остаточный 0 \

А

1

А/

то

/'(А) 1!

(А) \ (п-1)!

V

/(А) /'(А)

/(А) , т.е. значение функции f(A) определяется только значе-

нием функции f(t) и ее га — 1 производной в точке t = А, а все производные более высоких поряд­ков (т.е. все последующие слагаемые формулы Тейлора) дают нулевой вклад. То есть, мы можем взять формулу Тейлора для этой функции, обрубить ее на га—1-й производной, и мы получим мно­гочлен p(t), причем р(А) = f(A), а вычислять значение многочлена от матрицы мы умеем. Если

матрица произвольна, то ее нужно привести к жордановой форме, А'

1(Аг) О

Ал

О

О

Аг.

, где

и f(A) = Cf(A')C-\

А\,... , Ат — жордановые клетки. Т.к. f(A')

О f(Ari

то формулу Тейлора нам достаточно обрубить на к — 1-й производной, где к — максимальный размер жордановой клетки в жордановой форме матрицы А, тогда мы получим такой многочлен p(t), что р(А) = f(A). Этот многочлен называется интерполяционным.

Вопрос: Почему определение f(A) не зависит от способа приведения к жордановой форме ?