2.8   Еще несколько утверждений об операторах

Определение 2.8.1 Оператор / называется диагонализируемым, если существует такой ба­зис, что матрица этого оператора в этом базисе диагональна.

Примеры:

1) операторы проектирования диагонализируемы,

2) нильпотентные операторы не диагонализируемы (если они не нулевые), так как любая диагональная нильпотентная матрица равна нулю.

Лемма 2.8.2 Пусть характеристический многочлен P/(t) имеет га = dim ТУ различных корней, тогда оператор f диагонализируемый.

Доказательство. Пусть Ai,...,Ara — корни P/(t), т.е. собственные значения оператора /, а а\,... , ап — отвечающие им собственные вектора, т.е. /аг- = Агаг-, і = 1,... , га. Если бы мы знали, что а\,... ,ап — базис, то матрица оператора в этом базисе имела бы вид: Af = Аі О

О хп

Докажем, что а\,... ,ап является базисом. Для этого нам достаточно доказать линейную не­зависимость этих векторов (так как их количество совпадает с размерностью пространства). Проведем индукцию по размерности пространства.

1) База индукции. Если dim ТУ = 1, то вектор а\ будет базисом. База индукции верна.

2) Индуктивный переход. Пусть для dim W < п утверждение верно, докажем его для dim W = п. Допустим, что это не так, т.е. существуют скаляры а\,... ,ап, не все равные нулю, т.ч. а\а\ + ... + апап = 0. Без ограничения общности можно считать, что ап ф 0, тогда вектор ап есть линейная комбинация остальных векторов, ап = — —а\ — ... — а"~1 ап-\. Применив

an_ij, т.е.

ап-1 „ \

оператор / к обеим частям этого равенства, получим, что fan = f{ — ^a\ — ■ ■ ■ — 1 Кап = -f^-Aiai - ... - ^iAn_ian_b но, с другой стороны, Хпап = An(-f^-ai Приравняв выражения в правых частях равенств, получим, что (Хп — Xi)^ai + ... + (Хп — Ara_i) а^~1 ап-\ = 0. Рассмотрим подпространство V = (а\,... ,ara_i), оно будет инвариантно относительно оператора / и dim V = п — 1. Если fi — ограничение / на V, то а\,... , ап-\ — собственные вектора оператора fi, следовательно, по предположению индукции, они линейно независимы. Т.к. все Аг- различны, то «i = ... = ctn-\ = 0, но тогда ап = 0, что невозможно, т.к. это собственный вектор. Полученное противоречие доказывает линейную независимость векторов ai,...,ап.

Лемма   2.8.3 Над алгебраически замкнутым полем матрицу любого оператора можно при­/ Ai * ■

вести к верхнетреуголъному виду ' • _ | заменой базиса.

V О А,

Доказательство.   Индукция по размерности пространства.

1) Если dim И7 = 1, то утверждение очевидно, т.к. любая матрица размера 1 является верхне­треугольной.

2) Пусть утверждение верно для dim W < п, докажем его для dim W = п. Т.к. поле алгебра­ически замкнуто, характеристический многочлен имеет корень А, он будет собственным зна­чением. Ему соответствует собственный вектор, который порождает одномерное инвариантное

подпространство V, тогда матрица оператора / имеет вид Aj = ^ ^    ~£   ^ . По предположению

ИНДУКЦИИ Матрицу Afi МОЖНО Привести К ВерХНетреуГОЛЬНОМу ВИДУ Afi

тогда матрица Af

Ai О

также будет верхнетреугольной.

Агг-1 /

Чг-1

Лемма 2.8.4 Если матрица оператора верхнетреугольная, то на главной диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Доказательство.   Пусть Aj

О А

det(/ — t-id) = (Xi — t)-...-(Xn — t), т.е. Ai,... , А

а значит собственные значения.

Ai \ / Ai -1

, тогда Af-t.id = •-. I , и

V    0 Xn-t это корни характеристического многочлена,

Лемма 2.8.5 Пусть оператор / такой, что в алгебраически замкнутом поле характе­ристический многочлен -Р/(£) имеет единственный корень X, тогда оператор д = / — А • id является нильпотентным.

Доказательство.   Т.к. у оператора / только одно собственное значение А, то в некотором

/А *ч

базисе его матрица будет иметь вид      = . Матрица оператора д в этом базисе

V О А /

имеет вид Ад = . Характеристический многочлен оператора д имеет вид Рд{Ь) =

V о      о /

( — 1)пЬп, и, поскольку он является аннулирующим, то Рд(д) = ( — 1)пдп = 0, значит, дп = 0 и, следовательно, оператор д является нильпотентным.