2.3.Собственные значения и собственные векторы

Определение 2.3.3 Число А Є К называется собственным значением оператора /, если оператор / — А • id вырожденный. Тогда у этого оператора — ненулевое ядро. Любой нену­левой вектор, принадлежащий ядру оператора / — А • id, называется собственным вектором, отвечающим собственному значению А.

Рассмотрим пространство V(X) = Кег(/ — А • id) — подпространство собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению А.

Лемма   2.3.4 Пространство V(X) инвариантно относительно оператора /.

Доказательство.   Если х Є V(А), т.е. (/ — А • id)(x) = 0, тогда /(ж) = Аж Є V(А).

Лемма 2.3.5 Пусть К — алгебраически замкнутое поле (т.е. любой многочлен / Є ^[ж], deg/ > 0, имеет корень), например, поле комплексных чисел. Тогда у любого оператора / : W —> W, где dim W > 1, существует нетривиальное инвариантное подпространство (от­личное от нуля и от всего пространства).

Доказательство. Рассмотрим уравнение det(/ — А • id) = 0. В силу алгебраической замкну­тости поля, это уравнение имеет корень Ао, тогда Ао будет собственным значением / и тогда dim V(Ао) > 0 и V(Xo) инвариантно. Если V(Ао) ф W, то оно нетривиально. Если же случайно по­лучилось, что V(Xo) = W, то / имеет вид / = X^-id, т.е. является просто оператором умножения на число, и тогда любое подпространство будет инвариантным.