1.11    Канонический изоморфизм между пространством и его вторым двой­ственным

Рассмотрим пространство, двойственное к двойственному. Оно называется вторым двойствен­ным пространством: V" = (V)'. Элементы пространства V" — это линейные функционалы на пространстве V', т.е. функции, аргументами которых являются элементы множества V'. Оче­видно, что dim V" = dim V = dim V.

Определим отображение (р : V V". Для каждого вектора ж £ V функционал <~р{х) = <рх должен отображать функционалы (элементы множества V1) в поле скаляров. Пусть / £ V' Определим значение <~px{f) = f(x)- Очевидно, что ipx — это линейное отображение V' —> К. Кроме того, <р{х\ + ж2) = V^i) + <р{х2) и ¥'(^ж) = А(,о(ж). Докажем, что (р есть изоморфизм. Для этого нам нужно доказать, что из условия <рх = 0 следует, что ж = 0. Условие <рх = 0 означает, что для любого функцинала / £ V' <-px{f) = 0, т.е. /(ж) = 0. Но единственный вектор в V, на котором любой функционал равен нулю, есть нулевой вектор, ж = 0. Действительно, если это неверно, выберем базис е\ = ж, е2,... , еп в V, тогда для функционала е1 имеем е1(ж) = 1 ф 0.

Так как <рх = 0 <^=> ж = 0, то для произвольного базиса е\,... , еп в V векторы <pei,... , <-реп линейно независимы. Но, поскольку dim V" = п, эти векторы составляют базис пространства V", следовательно <р — изоморфизм.

При построении этого изоморфизма, мы ни разу не использовали базис (базис мы исполь­зовали только при доказательстве), поэтому этот изоморфизм не зависит от выбора базиса в пространстве V, а его конструкция универсальна и годится для любого пространства VI Такие изоморфизмы называются каноническими.

Т.к. V и V" изоморфны канонически, то мы можем эти два пространства просто отожде­ствить, и смотреть на пространства V и V как на двойственные друг к другу (V — двой­ственное к V, а V = V" — двойственное к V).

Легко видеть, что базис (ре1,... , (реп в V" — двойственный к базису е1,...,ёа, если е1,... ,еп — двойственный базис к е\,... , еп. При отождествлении пространств V и V", базисы ip>ei,... , ip>en и е\,... , еп отождествятся, и тогда базисы е\,... , еп и е1,... ,еп будут взаимно двойственными.

Пример: двойственное пространство пространства многочленов

Рассмотрим пространство Кп [ж] многочленов степени не выше п с коэффициентами из поля К от переменной ж £ К. Зафиксируем произвольное ж = жо, и каждому многочлену р(х) поставим в соответствие число р(х) \—> р(хо) £ К. Каждое жо задает свое отображение evXo : Кп [ж] —> К. Т.к.

evX0 (р(х) + q(x)) = р(х0) + q(x0) = evXo (р(х)) + evXo (q(x))

и evXo(Xp(x)) = XevXo(p)x, то отображение evXo линейно для каждого жо- Таким образом, каждое значение жо задает элемент evXo двойственного пространства К^Дж]'.

Лемма 1.11.1 Если xq,x\, ... ,хп —попарно различные значения, то evXo,evXl,... ,evXri бу­дет базисом в двойственном пространстве Ж*п[х\'.

Доказательство. Если нам удастся построить базис в пространстве К„,[ж], который будет двойственным к evXo, evXl,... , evXn, то отсюда будет следовать, что evXo, evXl,... , evXn будет двойственным к базису в К^Дж], т.е. будет базисом в К^Дж]'. Построим такой базис:

Нам нужно найти такие многочлены р°(х),р1 (ж),... ,рп(х), что еуХг(р3 (х)) = 53, т.е. значение г-й функции еюХІ на всех базисных многочленах, кроме рг(х), равно 0, а на рг(х) равно 1. Эти многочлены можно построить, используя, например, интерполяционную формулу Лагранжа:

^     _   (ж - ж0) ... (ж - жг_і)(ж - жг+і) ... (ж - хп)

(жг'      Жо) • • • (жг'      Жг'_і)(жг'      Жг'_|_і) . . . (жг' жп)

Докажем, что эти многочлены образуют базис.

1) линейная независимость: р(х) = Агрг(ж) = 0 только, если все Аг- = 0, т.к. р(жг) = Аг- Уг.

2) максимальность: возьмем произвольный многочлен р(х), тогда р(х) = р(жг)рг(ж), т.е. явля­ется линейной комбинацией многочленов рг(х).

(здесь, согласно тензорным обозначениям, подразумевается суммирование по индексу і). Таким образом, мы доказали, что р°(ж),р1(ж),... ,рп(х) — базис в Кп,[ж], а значит двойствен­ный к нему базис еуХо, еуХ1,... , еюХп будет базисом в К^Дж]'.