2. Оптимизация как путь к катастрофе

Простейшая модель роста х = кх предложена Мальтусом (для роста населения Земли). Она ведет, как хорошо известно, к экспо­ненциальному (т. е. очень быстрому) росту населения х с течени­ем времени. Эта жепкая модель применима (разумеется, с ого­ворками), например, к развитию науки в 1700-1950 годах (изме­ряемому, скажем, числом научных статей) (рис. 4). Продолжение экспоненциального роста науки в следующий век быстро привело бы к исчерпанию бумаги и чернил, причем число ученых должно было бы достичь половины населения земного шара.

Ясно, что общество (во всех странах) не может этого допустить, и следовательно развитие науки должно быть подавлено (что мы и наблюдаем во многих странах; в России реформиро­вание академической науки происходит как раз сейчас).

Аналогичные явления насыщения происходят в любой попу­ляции (и, вероятно, вскоре произойдут с человечеством в це­лом): когда население становится слишком большим, мальтусов-ская жесткая модель с постоянным коэффициентом роста к пе­рестает быть применимой. Естественно, при слишком больших X конкуренция за ресурсы (пищу, гранты и т. д.) приводит к умень­шению к, и жесткая модель Мальтуса должна быть заменена мяг­кой моделью

х = к(х)х

с зависящим от населения коэффициентом размножения. Про­стейшим примером является выбор к(х) = а — Ьх, что приводит к так называемой логистической модели (рис. 5):

х = ах — Ьх2,   например,   х = х — ж2.

Выбором системы единиц х т/1 Ь можно превратить коэффици­енты а и 6 в 1. Подчеркну, однако, что выводы, которые будутсделаны ниже, остаются (с точностью до числовых значений кон­стант) справедливыми и при любых значениях коэффициентов а и 6 и даже для широкого класса моделей с различными (убываю­щими с х) функциями к(х). Иными словами, дальнейшие выводы относятся ко всей мягкой модели, а не к специальной жесткой логистической модели.

На рис. 5 слева изображен график функции к(х)х, положи­тельной между точками А и В. В центре изображено векторное поле на изображающей всевозможные состояния системы оси х. Оно указывает скорость эволюции состояния. В точках А и В скорость равна нулю: это стационарные состояния. Между АжВ скорость положительна (население растет), а за точкой В — от­рицательна (население убывает). Справа изображена результиру­ющая зависимость населения от времени при разных начальных условиях.

Модель предсказывает, что с течением времени устанавлива­ется стационарный режим В, который устойчив: большее насе­ление уменьшается, меньшее— увеличивается.

Логистическая модель удовлетворительно описывает много­численные явления насыщения. Вблизи А, когда население мало,она очень близка к мальтузианской модели. Но при достаточ­но больших х (порядка 1/2 при нашем выборе коэффициентов) наблюдается резкое отличие от мальтузианского роста (обозна­ченного на рис. 5 пунктиром): вместо ухода х на бесконечность население приближается к стационарному значению В. Населе­ние Земли сейчас приближается к 6 миллиардам. Стационарное значение (по разным оценкам) 16 - 20 миллиардов человек.

Логистическая модель является обычной в экологии. Можно себе представить, например, что х — это количество рыб в озере или в мировом океане. Посмотрим теперь, как скажется на судьбе этих рыб рыболовство с интенсивностью с:

х — х — х2 — с.

Вычисления показывают, что ответ резко меняется при некото­ром критическом значении квоты вылова, с. Для нашей жесткой модели это критическое значение есть с = 1/4, но аналогичные явления имеют место и для мягкой модели

х = х — к(х)х — с

(критическое значение с в этом случае максимум функции к(х)х).

Ход эволюции числа рыб х с течением времени £ изображен на рис. 6. Если квота с мала, то изменения (по сравнению со свободной популяцией, для которой с = 0) состоят в следующем.

Система имеет два равновесных состояния, А и В. Состоя­ние В устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше, чем не облавливаемая, но она восстанавливается при малых от­клонениях х от равновесного значения В.

Состояние А неустойчиво: если вследствие каких-либо причин (скажем, браконьерства или мора) размер популяции упадет хоть немного ниже уровня А, то в дальнейшем популяция (хотя и мед­ленно, если отличие от А невелико) будет уничтожена полностью за конечное время.

По моему мнению, состояние науки в России в настоящее вре­мя описывается примерно точкой А: оно еще стационарно, но, как говорят физики, квазистационарно в том смысле, что небольшое встряхивание может легко привести к необратимому уничтоже­нию.

При больших критической квотах вылова с популяция х уни­чтожается за конечное время, как бы велика она ни была в на­чальный момент.

Это—судьба мамонтов, бизонов, многих китов: экологи под­считали, сколько видов погибает ежедневно под влиянием дея­тельности человека, и эти цифры ужасают. Модели этого рода описывают также банкротство фирм, концернов и государств. Опасность уничтожения в нашей модели появляется тогда, когда неустойчивое состояние А приближается к устойчивому состоя­нию В, т. е. когда величина х опускается примерно до половины исходной стационарной величины необлавливаемой популяции.

Население России, мне кажется, еще не понизилось до этого смертельно опасного уровня, но, по-видимому, движется к нему. Наука же в России находится в настоящее время именно в таких условиях «перелова». Например, заработная плата главного на­учного сотрудника в Математическом институте им. Стеклова РАН (каковым я являюсь) составляет менее 100^долларов в ме­сяц. Это раз в сто меньше зарплаты моих коллег в США (и раз в 50 меньше, чем во Франции). Понятно, что в таких условиях величина с (скорость убыли числа ученых в России) ограничива-

етСЯ_В ргттпвнрм  тгмгтсргтммття.ттгтпттттктмгт мерами, принимаемыми

Западом (например, США) для охраны своих рабочих мест от наплыва лучше подготовленных иностранных аспирантов и док­торантов (в основном из Китая и из России).

Из сказанного видно, что выбор значения параметра с явля­ется чрезвычайно важным моментом управления эксплуатацией популяции х. Стремясь к увеличению квоты эксплуатации с, ра­зумная планирующая организация не должна превосходить кри­тический уровень (в нашем случае с ^ 1/4)- Оптимизация при­водит к выбору именно критического значения с = 1/4, при котором эксплуатируемая популяция еще не уничтожается, но доход от эксплуатации за единицу времени достигает максималь­но возможного значения с = 1/4 (больший доход в нашей по­пуляции в течение длительного времени невозможен, так какмаксимальная скорость прироста даже и неэксплуатируемой по­пуляции есть 1/4).

Из нижней части рис. 6 мы видим, что произойдет при таком «оптимальном» выборе, с = 1/4. Какова бы ни была начальная популяция х > 1/2, с течением времени она выйдет на стаци­онарный режим А = В = 1/2. Эта стационарная популяция, однако, неустойчива. Небольшое случайное уменьшение х при­водит к полному уничтожению популяции за конечное время.

Следовательно, оптимизация параметров плана может при­водить (и приводит во многих случаях, из которых наша мо­дель— лишь простейший пример) к полному уничтожению пла­нируемой системы вследствие возникающей из-за оптимизации неустойчивости.

Наша мягкая модель, при всей своей очевидной примитив­ности, позволяет, однако, предъявить способ борьбы с указан­ным злом. Оказывается, устойчивость восстанавливается, если заменить жесткое планирование обратной связью. Иными слова­ми, решение о величине эксплуатации (квоты вылова, налогового пресса и т. д.) следует принимать не директивно (с = const), а в зависимости от достигнутого состояния системы:

с — kx у

где параметр к («дифференциальная квота») подлежит выбору. В этом случае модель принимает вид (рис. 7)

гр - гр _ гр ^       „   ]/• гр

Л/ - \JU Л/ ГЬ iAj ■

При к < 1 с течением времени устанавливается стационарное состояние В, которое устойчиво. "Средний многолетний «доход» с = кх в этом состоянии оптимален, когда прямая у = кх про­ходит через вершину параболы у = х — х2, т.е. при к = 1/2. При этом выборе дифференциальной квоты к средний «доход» с = 1/4 достигает максимального возможного в нашей системе значения. Но, в отличие от жестко планируемой системы, систе­ма с обратной связью устойчива и при оптимальном значении

Рис. 7. Устойчивая система с обратной связью.

коэффициента к (небольшое случайное уменьшение по отноше­нию к стационарному уровню х — В приводит к автоматическом восстановлению стационарного уровня силами самой системы).

Более того, небольшое отклонение коэффициента от опти­мального значения к = 1/2 приводит не к самоуничтожению си­стемы (как это было при небольшом отклонении от оптимального жесткого плана с), а лишь к небольшому уменьшению «дохода».

Итак, введение обратной связи (т. е. зависимости прини­маемых решений от реального состояния дел, а не только от планов) стабилизирует систему, которая без обратной связи разрушилась бы при оптимизации параметров.

Все сказанное выше останется справедливым и для мягкой мо­дели (с соответствующим пересчетом коэффициентов). Следует подчеркнуть, что именно эта независимость от деталей жесткой модели (которые, как правило, не слишком хорошо известны) де­лает выводы мягкого моделирования полезными.

Попытки заменить мягкое моделирование жестким обычно приводят к иерархии все более сложных и громоздких математи­ческих построений, исследование которых доставляет прекрас­ный материал для большого количества диссертаций, но реальная ценность которых зачастую не превосходит в сущности простых (хотя без математики и не очевидных) выводов, основанных на анализе именно простейших моделей, подобных описанной выше.