1. Модель войны или сражения

В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух армий) — модели Ланкастера — состояние системы описывается точкой (х, у) положительного квадранта плоскости. Координа­ты этой точки, х и у — это численности противостоящих армий. Модель имеет вид

х = -by, у = —ах.

Здесь а — мощность оружия армии х, a b—армии у. Попросту говоря, предполагается, что каждый солдат армии х убивает за единицу времени а солдат армии у (и, соответственно, каждый солдат армии у убивает b солдат армии х). Точка над буквой здесь и далее означает производную по времени t, то есть ско­рость изменения обозначенной буквой величины.

Это — жесткая модель, которая допускает точное решение

dx     by 2.2

— = —,      ахах — by ay,      ах — by = const.

ay ax

Эволюция численностей армий x is. у происходит вдоль ги­перболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.

Эти гиперболы разделены прямой у/ах - sfby. Если начальная точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис. 1), то гипербо­ла выходит на ось у. Это значит, что в ходе войны численность армии х уменьшается до нуля (за конечное время). Армия у вы­игрывает, противник уничтожен.х

Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрыва­ет армия у. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой) война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблени­ем обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обесси­лены.

Вывод модели таков: для борьбы с вдвое более многочислен­ным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным — в девять раз и т.д. (на это ука­зывают квадратные корни в уравнении прямой).

Ясно, однако, что наша людоедская модель сильно идеали­зирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной си­туации. Возникнет вопрос — как изменится вывод, если модель будет несколько иной. Например, коэффициенты а и 6 могут быть не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от х и от у. И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.

В этом случае речь идет о системе

х = -Ъ(х,у)у,

у = -а(х,у)х,

которая уже не решается явно.

Однако в математике разработаны методы, позволяющие сде­лать выводы общего характера, и не зная точно явного вида функций а и 6. В этой ситуации принято говорить о мягкой мо­дели— модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функ­ций а и 6 в нашем примере).

1

 

х

Рис. 2. Мягкая модель войны.

Общий вывод в данном случае есть утверждение о структур­ной устойчивости исходной модели: изменение функций а и Ь изменит описывающие ход военных действий кривые на плоско­сти (ж, у) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качествен­ного вывода.

Вывод этот состоял в том, что положения их выигрывает» и «у выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уни­чтожают друг друга за бесконечное время».

Математики говорят, что топологический тип системы на плоскости (х,у) не меняется при изменении функций а и Ъ: оно приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).

Этот математический вывод не самоочевиден. Можно пред­ставить себе и другую ситуацию, например, изображенную на рис. 3. Математическая теория структурной устойчивости утверждает, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае для не слишком патологических функций а и Ь (скажем, она не реализуется, если это — положительные в нуле многочлены).

Мы можем сделать вывод о качественной применимости про­стейшей модели войны для приближенного описания событий в целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать точного вида жесткой модели: выводы справедливы для мягкой модели. На самом деле простейшая модель дает даже полезное количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной прямой в нуле определяется формулой ч/ах = \/Ьу, где а и Ь— значения коэффициентов в нуле.

Рис. 3. Нереализуемая модель войны.

То есть принцип «если противников вдвое больше, то надо иметь в четыре раза более мощное оружие» справедлив на ко­нечном этапе взаимного истребления, в то время как на началь­ном этапе войны число 4 нужно, быть может, откорректировать (учитывая вид коэффициентов а и 6). Для этой корректировки в математике мягких моделей тоже разработаны эффективные методы (несмотря на то, что явная формула для решения уравне­ний модели не только неизвестна, но и — это строго доказано — не существует вовсе).

Можно думать, что описанная модель отчасти объясняет как неудачи Наполеона и Гитлера, так и успех Батыя и надежды му­сульманских фундаменталистов.