4. Дифференциальное уравнение Ньютона

Дифференциальное уравнение Ньютона

описывающее движение точки х единичной массы по прямой под дей­ствием силового поля F, имеет первый интеграл энергии

у2

Н(х,у) = const,   где Я = — + U(x);

у = dx/dt — скорость; U — потенциальная энергия, определяемая усло­вием F(x) = —dll/dx.

Если F — многочлен степени п, то уравнение закона сохранения энергии, Н(х, у) = Е, определён на «фазовой плоскости» с координатами х и у алгебраическую кривую (гиперэллиптическую), зависящую от «по­стоянной энергии Е>, а время t движения вдоль неё определяется абе-левым интегралом от дифференциальной формы dt = dx/y (поскольку у = dx/dt).

Соответствующее этому движению фазовой точки векторное поле на фазовой кривой Н = Е естественно продолжается на всю комплекс­ную риманову поверхность (так, что М = 1 на векторах поля). Удиви­тельным фактом оказывается то, что это векторное поле описывает дви­жение по римановой поверхности заполняющей её «несжимаемой жидко­сти» (имеет «дивергенцию ноль», что в других терминах означает «за­мкнутость» формы <й, т. е. то, что она оказывается локально полным дифференциалом).

Задача. Пусть потенциальная энергия II — многочлен четвёртой степени с двумя минимумами («двумя потенциальными ямами»). Рас­смотрим периодические движения в той и в другой яме, с одинаковыми значениями постоянной полной энергии, Е. Спрашивается, период ко­торого из них больше: движения в более глубокой яме или в менее глу­бокой?

Ответ. Эта задача — топологическая. Оба периода одинаковы, по­скольку риманова поверхность фазовой кривой Н = Е — тор, периоди­ческие движения — два его меридиана, а потоки несжимаемой жидкости на торе через любые два меридиана одинаковы.

Замечание. Интегралы дифференциальной формы аЧ = сіх/у по всевозможным замкнутым путям на торе, выходящим из одной и той же точки, образуют «решётку»: абелеву группу Za^l + Za^2 = Г, где и>і и и>2 — интегралы вдоль параллели и вдоль меридиана тора. Значение і интеграла по выходящим из выбранной точки незамкнутым путям явля­ется многозначной функцией от конечной точки на торе, причём все значения этой многозначной функции в точке получаются из одного из них прибавлением всех чисел из решётки Г.

Таким образом, сама наша торическая риманова поверхность пред­ставляет собой (с точностью до комплексного диффеоморфизма) фак­тор-пространство С/Г = С/(Іюі + Za^2), где комплексное число А = ^ не вещественно.

Выбирая различные многочлены четвёртой степени, можно полу­чить, что все невещественные значения А2 и все торические римановы поверхности доставляются этой конструкцией (что доказать уже не так легко).

Все сферические римановы поверхности комплексно диффеоморфны стандартной сфере Римана Б2 = СР1.

Ввиду столь большой важности этих вопросов, я скажу о них не­сколько слов.