2. Обобщение комплексных чисел до понятия кватернионов

Оказывается, для описания вращений в М3 нужны 4 числа, поэтому нам требуются вектора 4-мерного вещественного пространства — ква­тернионы. Вырезанная Гамильтоном на перилах формула і]к = — 1 даёт таблицу умножения кватернионов.

Итак, кватернион — это вектор 4-мерного вещественного простран­ства с базисом 1, г, і, к (которые называются базисными кватернио­нами): о + Ы + с] + оік. Число о называется вещественной частью (скаляром), а трёхмерный вектор V = Ы + с? + йк — мнимой частью кватерниона. Слово «вектор» впервые появилось именно в этой теории. Во времена Гамильтона векторов не было, так что ему пришлось выду­мывать всю терминологию.

«Числа» \,%, 2,к называются базисными кватернионами.

Сложение двух кватернионов — покомпонентное. Оно коммута­тивно и ассоциативно.

Самое трудное — придумать, как умножать кватернионы. Умноже­ние дистрибутивно относительно сложения, так что достаточно уметь умножать базисные кватернионы.

Таблица Гамильтона умножения базисных кватернионов:

1

1

= 1,

1

ъ =

г,

1

3 =

3,

1

к =

к;

%

1

= г,

%

% =

-1,

%

3 =

к,

%

к =

-

3

1

= 3,

3

% =

-к,

3

3 =

-

3

к =

г;

к

1

= к.

к

% =

3,

к

3 =

-

к

к =

-

Заметим, что разные мнимые кватернионные «единицы» при умноже-

-

знать, что %2 = к, то остальное легко вывести из условия ассоциативно­-­Правило умножения базисных кватернионов получается из формулы %2 = к циклическими перестановкам:

гз = к,   ]к = г,   Ы = ].

Умножение не коммутативно, но ассоциативно. Некоммутативным оно и должно быть, чтобы описывать вращения трёхмерного простран­ства, которые не все коммутируют.

Для любых кватернионов р, д, г имеют место следующие равенства:

Р + Я = Я + Р    (коммутативность по сложению), (р + я) + г = Р + {я + г)    (ассоциативность по сложению), (р ' я) ' т = Р ' (я ' г)    (ассоциативность по умножению), р-{я + г)=Р'Я+Р'г (дистрибутивность).

Такая операция умножения не требует умственных способностей, а подобна умножению многозначных чисел*. Пусть даны два кватерниона,

/; = «| - г,.   (/ = «2 - г2.

Посчитаем их произведение. Начнём с вычисления вещественной части ответа:

Декарт предложил метод полного исключения геометрии и воображения из ма­тематики, как самый «демократический»: ведь любой тупица продвигается при подобном методе столь же успешно, как и самый гениальный ум.

Ясно, что произведение вещественных частей а\а-1 в ответ войдёт, но при перемножении членов с другими базисными кватернионами возникают

---изведении нет. По определению, скалярным произведением двух векто­ров трёхмерного евклидова пространства с ортонормированным базисом {г,3, к) называется билинейная функция от этих векторов

Ъ\Ъ2 + сюг + (кд-г = {уг,у2).

Задача. Доказать, что скалярное произведение двух векторов рав­но произведению их длин на косинус угла между ними:

(г>1,г72) = |Ы| • |Ы| • С08(и1,и2).

Вычислим мнимую часть произведения кватернионов рд.

1т(рд) = щ'о-2, + а2'0\ + [уг,у2],

где [1)1,1)2] — векторное произведение векторов у\ и и2. Компоненты векторного произведения легко вычислить — это определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьг

ь2

ъ +

С\

с2

3 +

 

0*2

 

к

ь2

С\

с2

 

а\

а2

к.

Задача. Доказать, что [и^иг] перпендикулярно VI ж у2.

Выбор направления перпендикуляра подчинён требованиям ориен­тации («правило правой руки»).

Тройка векторов (1>1,1>2, [«1,^]) ориентирует пространство так же, как базисная тройка к). Это значит, что одну из троек можно непре­рывно перетянуть в другую, оставляя векторы линейно независимыми во всё время перетягивания. Например, тройки к) и (_?', к, г) ориен­тируют пространство одинаково, а {г,к,]) — иначе.

Векторное произведение двух векторов меняет знак при их переста­новке.

-

Произведение линейно по У\ и по и2.

Это описание умножения завершает описание алгебры кватернионов по Гамильтону. Основное значение этой операции состоит в доставляе­мом ею описании вращений трёхмерного евклидова пространства. Напо­мню, что вращение евклидовой ориентированной плоскости М2 на угол а задаётся отождествлением плоскости R2 с С и преобразованием умно­жения на г. и' ■ ■ zw, где z = cosа + isina.

Для кватернионов можно предугадать кватернионный аналог чи­сла z. Но заканчивающее выбор кватерниона замечание приводит к те­ории спина (вероятно, первооткрывателем формулы для него является Родригес).

Мы начинаем с евклидова ориентированного пространства R3 с ор-тонормированным ориентированным базисом г, j, к.   Вращение про-R

круг этой оси. Ось можно задать ортом v, который задаётся своими углами а, (3, 7 с осями (г, j, к): v = г cos а + j cos /3 + к cos 7. Вращение на положительный угол вокруг этой оси совпадает с вращением на про­тивоположный угол вокруг противоположного направления оси.

Рассмотрим орт оси вращения. Этот вектор имеет компонентами косинусы направляющих углов (образованных вектором и направляю­щими векторами осей). По теореме Пифагора, длина вектора v равна единице.

Переходим к решающей формуле — для кватерниона, описывающего вращение. Эту формулу скрывают от мехматян или физиков (в теории твёрдого тела рассказывают в виде матриц Паули).

Какова размерность группы всех вращений евклидова пространства

R

лучается четыре вещественных числа. Кажется, что размерность мно­гообразия всех вращений равна четырём, но это не верно. Есть соотно­шение на эти 4 числа:       = 1. Размерность группы SO(3) вращений

R

Задача. Посчитать размерность групп SO(n) всех вращений про-RR

В обозначении 30(п) буква О обозначает ортогональность, т. е. со­хранение преобразованиями группы длин векторов из Мп, а буква 5 («специальное») — сохранение ориентации.

Теперь мы сопоставим каждому вращению трёхмерного ориентиро­ванного евклидова пространства кватернион нормы единица.

Определение. Сопряжённым к кватерниону д = а + V называется кватернион д = а — V.

Определение. Квадратом нормы кватерниона д называется число дд = а2 -(„,(-„))= о2 + |М|2 >0.

Это — всегда вещественное число, оно положительно при д ф 0. Дей­ствительно, написанное выражение есть сумма квадратов вещественных чисел

ад = (а + Ы + су + дк) {а — Ы — су — дк) = а2 + Ь2 + с2 + а? > 0.

Поэтому и норма — вещественное неотрицательное число. Пусть дан какой-либо кватернион с нормой единица,

\\

Мы представили наш кватернион в виде g = cos ip + sin ip -vv' — орт оси. Вектор трёхмерного пространства v' имеет норму единица. Если мы хотим описывать при помощи нашего кватерниона вращение трёх­'

вращения. Для получения кватерниона осталось выбрать в последней формуле угол tp. Пусть в — сама величина угла поворота. Современное понимание физики отличается от понимания физики два столетия назад, поэтому нужна «двойка Родригеса»: оказывается, в качестве <р> для по­'

нужно выбрать половину угла поворота, ip = в/2,

\\

По определению нормы

\\

о = cos (р.

v = sm ip.

д = cos  -   + sin  -   • v'.

 

Двойка Родригеса и есть причина спина в физике.

Замечание. Из-за двойки вращение определяет кватернион неод­нозначно. Угол поворота в определён по модулю 2ттп, п£ Z. Входящий в определение кватерниона угол в/2 определён по модулю ттп. Если п не­чётно, то при прибавлении 2ттп к углу в кватернион изменит знак. Надо было бы писать ±д = соз(0/2) + зт(в/2) - у'.

Иными словами, одному и тому же повороту отвечают два кватер­ниона (различающиеся знаком).

Все кватернионы нормы единица (||д|| = 1) образуют сферу 53 в М4. Соответствие, сопоставляющее каждому кватерниону нормы единица вращение, задаёт отображение сферы 53 на всю группу вращений — двулистное накрытие: 53 — 50(3) = 53/±1.

Теорема. Отображение накрытия является гомоморфизмом, т. е. произведение переходит в произведение: если #(д) — вращение, соот­ветствующее кватерниону д, то

9{ч1Я2)=д{ч1)д{ч2)- (*)

Умножение кватернионов является алгебраической записью умно­жения вращений (эта группа некоммутативна). Это аналог теоремы сложения аргументов при перемножении комплексных чисел. Легко до­казывается следующая

Лемма. |дхд2| = Ы - Ы-

Поэтому, если |дх | = 1, то умножение на такой кватернион сохраняет длины. Отсюда легко вывести формулу (*) (я пропущу в этом выводе некоторые детали).

г на кватернион ад странным образом:

ад — гтг-1. (**)

Определение. Обратным кватернионом к кватерниону г называ­ется такой кватернион г~\ что г-1 г = 1.

Такой обратный кватернион единственен и его легко найти для лю­бого ненулевого кватерниона г таким же образом, как это делается и для комплексных чисел («инверсия»). В нашем случае просто г~г = ~г, так как гг = 1. Странное преобразование (**) — это вращения про­странства М4 (доказательство аналогично случаю С).

Если ад = 1, то при этом вращении 1 I—> г ■ 1 • г, то есть вектор 1 остаётся при преобразовании (**) на месте. Вращение евклидова протак получается то самое вращение трёхмерного пространства, которое мы раньше описывали при помощи оси и угла поворота.

Рассмотрим действие (**) для произведения г\г2: г%г2'ш(г1г2)-1. Как вычислить (г1г2)-1?

Подсказка из зала: (аЪ)-1 = а-1Ь-1.

— Неверно!

Пример. Пусть о означает снять пиджак, а Ь — снять рубашку. Тогда Ьа — снять пиджак, затем снять рубашку — эквивалентно раз­деться. Обратное — одеться. Надо сначала надеть рубашку, и лишь потом надеть пиджак. Поэтому (Ьа)-1 = а-1Ь-1.

Следовательно, произведение г±г2 переводит точку ад в точку

{г1г2)'ш{г1г2У1 = г1г2и)г21 г- = г1{г2'шг21)г-1.

Операция (**) действия кватерниона г±г2 эквивалентна тому, что на ре­зультат операции (**) действия кватерниона г2 на ад действует опера­цией (**) кватернион г\\

{г1г2)т{ггг2у1 = гг[г2тг^г-.

Иными словами, для любого чисто мнимого (ортогонального к 1) век­тора ад имеет место тождество

(й^122))(ад) = (д(г1))[(д(г2))('ш)].

В более коротких обозначениях, вращения д, соответствующие ква­тернионам г нормы единица, удовлетворяют условию гомоморфности,

0(2122) =д{г\)д{г2),

так что трудно описываемое умножение вращений д{г) сведено к легко выполнимому перемножению соответствующих им кватернионов.

Этот кватернионный метод описания движений используется даже в космических исследованиях, при организации ориентации спутников.

Докажем обещанное выше совпадение операции (**) действия ква­терниона

' | '|

З-комп.ч.

17с поворотом на угол в вокруг оси его мнимой части (с ортом г/) в про­странстве М3 чисто мнимых кватернионов. '

имеют место следующие три очевидные факта.

а) Умножение на вещественное число сое (0/2) переводит в себя лю­бую проходящую через ноль прямую.

'

'

векторное произведение любого вектора на себя равно нулю).

в) Обратный к г кватернион г~г = ~г имеет такой же, как г, вид

-

как и умножение на г слева, свойствами а) и б).

Утверждение 1) непосредственно вытекает из фактов а), б) и в). 2) Чтобы доказать, что угол поворота вращения (**) вокруг оси '

'

в трёхмерном евклидовом пространстве М3 чисто мнимых кватернио­нов.

Умножение и) на г слева поворачивает этот вектор внутри указан­ного ортогонального дополнения на угол в/2 (согласно теореме о сло­жении аргументов при перемножении комплексных чисел). Умножение

-

того, что

и)г~1 = иШ = гШ,

а чисто мнимые кватернионы при сопряжении меняют знак). Утвержде­ние 2) доказано.

Замечание. В квантовой физике (например, при описании враще­ния электронов) оказывается, что физически важным является не эле­мент группы вращений 50(3), а именно один из двух соответствую­щих ему кватернионов нормы единица, который и называется спином электрона, имеющим два значения (обычно обозначаемые в физике че­рез ±1/2).

При отождествлении в одну точку каждой пары противоположных

Рис. 9.  Построение проективной плоскости приклеиванием ленты Мёби­уса к кругу А'В'С (или проективной прямой КР1 «бесконечно-удалённых» точек к аффинной плоскости К2).

Это многообразие можно также описать как многообразие всех про­ходящих через О прямых ОМ в объемлющем пространстве Мп+1: ведь такая прямая как раз и определяется парой ±ЛГ своих (противополож­ных) точек пересечения с единичной сферой.

Пример. Проективная прямая МР1 есть окружность 51, поскольку при отождествлении точек (р и <^+тг окружности {</> той 2тт} получается окружность {<р той тг} = 5й/±1 « 51.

Проективная плоскость МР2 получается из аффинной плоскости М2 добавлением «бесконечно-удалённой прямой» МР1, содержащей по одной бесконечно-удалённой точке на каждой прямой аффинной плоскости (двигаясь вдоль прямой в обе стороны, мы придём в одну и ту же бесконечно-удалённую точку).

Чтобы всё это ясно увидеть, можно начать, отождествляя противо­положные точки не со всей сферы Б2, а лишь с замкнутой полусферы Б2 (скажем, южнее экватора). Тогда склеивать придётся только каждую точку А экватора с противоположной, —А, а открытая строго южная полусфера при склеивании не пострадает (рис. 9).

Между прочим, из этой же конструкции видно, что окрестность бесконечно-удалённой (а значит, и любой) прямой на проективной плос-М

Итак, 50(3) = Б3/±1 = МР3 — ориентируемое трёхмерное проек­тивное пространство. Его можно представить себе как совокупность поворотов на всевозможные углы, 0 ^ в ^ 7Г, вокруг всевозможных осей, заданных всеми векторами и> единичной сферы.

Совокупность всех таких вращений можно описать как шар {ш} ра­диуса 7г в трёхмерном евклидовом пространстве. Но на границе этого шара нужно ещё отождествить противоположные точки, так как враще­ние на угол 7г вокруг вектора и> совпадает с вращением на угол ж вокруг —

Задача. Существуют ли автоморфизмы А:М4 — М4 алгебры ква­тернионов, т.е. преобразования (скажем, вещественно-линейные), для которых при всех кватернионах х и у выполняются соотношения

А(х + у) = А(х) + А(у),   А(ху) = А(х)А(у) ?

Замечание. Для поля комплексных чисел группа автоморфизмов состоит из двух элементов: А(г) = г и А(г) = "г.

Кватернионное сопряжение не является автоморфизмом, так как для любых кватернионов г ж и) имеет место легко проверяемое тождество ~Ш = Ш-г, а не 1-ТП (кватернионное сопряжение— «антиавтоморфизм»).

Примером автоморфизма алгебры кватернионов является, однако, изменение знаков двух из трёх мнимых компонент:

Задача. Найти все автоморфизмы алгебры кватернионов (они по­хожи на этот).