1. Комплексные числа

Рассмотрим на евклидовой плоскости систему ортонормированных координат.

Базисные векторы обозначим через 1 по одной оси, і по другой оси (от слова «imaginary», т.е. мнимый). Точка плоскости представляется ■

Векторы на плоскости можно складывать:

Кроме сложения комплексных чисел, определим их умножение. Таблица умножения:

1-1 = 1.   1 -г = г = г ■ 1.

Самое главное начинается при умножении г на г:

г ■ г = —1.

Число г называют мнимым, так как не существует вещественного чи­сла о, для которого выполнялось бы равенство

Произведение двух любых комплексных чисел определяется по закону дистрибутивности:

Иными словами, умножая а\ на 02 и Ь\ на 62, получаем вещественную часть произведения (их разность), а умножая а\ на 62 и Ь\ на 02 — мнимую часть (сумму этих двух произведений). Определение умножения закончено.

Замечание. Все свойства умножения (коммутативность: = = 22^1; ассоциативность: (2122)23 = 21(2223); дистрибутивность по от­ношению к сложению: 21(22 + 23) = 2122 + 2123) выполняются очевидным образом.

С алгебраической точки зрения теория комплексных чисел этим ис­черпывается.

Движения плоскости

Комплексные числа — математический аппарат для описания дви­жений плоскости. Чтобы в этом убедиться, мы введём еще допони-тельное

Определение. Комплексное число

г = а — Ь ■ %

называется комплексно сопряжённым к числу г = а + Ь ■ г.

Геометрически переход от г к г — это отражение относительно оси 01.

Теорема. Сопряжённое число к сумме двух комплексных чисел рав­но сумме чисел, сопряжённых к слагаемым:

гі + г2 = гг + г2-

Теорема. Сопряжённое число к произведению двух комплексных чисел равно произведению чисел, сопряжённых к множителям:

Определение. Произведение комплексного числа на сопряжённое ему число называется квадратом модуля комплексного числа:

\г\2 = гг.

Лемма. Модуль комплексного числа — действительное неотрица­тельное число.

Доказательство. Квадрат модуля не меняется при сопряжении:

гг = гг = гг,

поэтому он является действительным числом. Кроме того, \г\2 = г~г = = а2 + Ь2 ^ 0, поэтому модуль — тоже действительное неотрицательное число. □ Определение. Аргумент а не равного нулю комплексного числа равен углу поворота от положительной полуоси 01 в сторону положи­тельной мнимой полуоси 0% до направления комплексного числа.

о = cos ct,   b = sin a.

Те, кто не знаком с функциями синус и косинус, могут считать это замечание их определением.

Применим теперь комплексные числа для изучения движений евкли­довой плоскости. Рассмотрим комплексное число w Є С. Рассмотрим преобразование «умножение на комплексное число z», переводящее ка-

\\

Теорема. Преобразование умножения на комплексное число с мо­дулем единица является поворотом плоскости {w}.

Доказательство. Рассмотрим комплексное число w. Сосчитаем модуль комплексного числа, в которое переходит w при нашем преобра­зовании:

\zw\2 = zwzw = (zz) ■ (ww) = ww = \w\2.

Следовательно, любой вектор переходит в вектор такой же длины. Кро­ме того, расстояние между концами векторов также сохраняется:

\zwi -zw2\ = \z(wi -w2)\ = \«л -№2І-

ZWi

zw2

Таким образом, преобразование умножения на комплексное число с модулем единица сохраняет длины.

Важная деталь: это преобразование сохраняет ориентацию. □

Задача. Вращение плоскости {«;} по часовой стрелке переходит при нашем преобразовании во вращение по часовой стрелке (т. е. в ту же сторону, что и исходное).

Отступление про ориентацию. Для определения ориентации нужна формула, которую от студентов зачастую скрывают, — формула

6площади параллелограмма. Пусть на евклидовой плоскости с ортонор-мированными координатами {(X,У)} имеется параллелограмм. Первый вектор, задающий параллелограмм, обозначим через А = (хі,уі), вто­рой — через В = (Х2,2/2)-

У

Теорема. Площадь Б (А, В) параллелограмма, порожденного век­торами А и В, является линейной функцией от вектора А :

+ А2,В) = 5(АЬВ) + 5(А2,В).

(Х2,У2) = Ву-

 

(хі,уі) = А

Площадь надо считать со знаком «плюс», если поворот от А к В — в направлении вращения от первой координатной полуоси ко второй (на нашем рисунке — «против часовой стрелки»). Соответственно, со знаком «минус», если поворот от А к В — в противоположную сто­рону. Линейность зависимости площади от первого вектора означает также, что

5(Ы,В) = ЩА,В).

Эти два простых факта содержат в скрытом виде всю «теорию опреде­лителей» .

Возьмем базис е = (1,0), / = (0,1). Тогда наши векторы А = Аг и В = А-2 можно представить в виде

А\ = х\< - А2 = ж2е + 2/2/■

Вычисляем площадь Б (Ах, А2). Вследствие линейности получаем сумму четырёх слагаемых

3(Аг,А2) = хгх2Б(е,е) + хц/25(е,/) + шж25(/,е) + 2/ц/25(/,/).

Здесь Б(е,е) = 0, потому что параллелограмм, натянутый на пару (е, е), является вырожденным. По этой же самой причине 5(/, /) = 0. Далее заметим, что Б(е, /) = 1; но 5(/, е) = —1, так как направление вращения от / к е — в обратную сторону. Следовательно, вся площадь равна

Это число называется определителем приведённой ниже квадратной таблицы из четырёх компонент наших векторов, называемой матрицей параллелограмма:

5(АЬА2) =

х\ х2 2/2

Мы обсуждаем вопрос: сохраняется ли при умножении на г ориентация? Надо взять на плоскости {гю} основной параллелограмм и посмотреть, куда он переходит. Если площадь образа положительна, то ориентация сохраняется, а если площадь образа отрицательна, то ориентация основ­ного (а значит, и любого) параллелограмма меняется. Образы векторов ей/ суть

Следовательно, матрица параллелограмма-образа имеет вид

х\ 2/1 х2 2/2

о Ь -Ь а

Определитель этой матрицы положителен (при г ф 0), так как

"   Ь =а2 — {—Ь)-Ь = а2 + Ь2>0. -о а

Следовательно, умножение на ненулевое комплексное число г сохра­няет ориентацию плоскости умножаемых чисел.

Исследуем, на какой угол поворачивается вектор ад при его умноже­нии на г? Возьмём простейший вектор и посчитаем, на какой угол он повернется при нашем преобразовании.

Замечание. Алгебраисты считают простейшим числом число 0, но нам оно не подходит, мы возьмём в качестве простейшего число ад = 1. Тогда умножение на г переведёт его в гт = г = а + Ы.

 

.

w = 1 — было

Из этого следует, что наше преобразование поворачивает вектор ад = 1 на угол а = &igz.

является поворотом плоскости на угол, равный argz.

Теорема. При умножении комплексных чисел их аргументы скла­дываются:

axg(zw) = axgz + axgw.

Доказательство. Мы уже доказали, что вектор ад = 1 при умноже­нии на z поворачивается на угол а. Но поскольку умножение на z есть поворот, то на такой же угол поворачивается и любой вектор ад. Введём обозначение arg№ = /9. Тогда число zw имеет аргументом а + /9, т.е. axg(zw) = arg№ + а. □

Это приводит к тригонометрическим тождествам, которые иначе

j j       j j

Поскольку axgz = а, то о = cos а, Ь = sin а. Точно так же, поскольку arg№ = Р, то с = cos Р, d = sin/9. Поэтому получаем для вещественных и мнимых частей произведения zw выражения

—— sin(a + /?) = ad + be = cos a sin /9 + sin a cos /9.

2-комп.ч.

Формула умножения комплексных чисел легко запоминается и не пу­тается ни с чем другим. А тригонометрических формул в ней содер­жится очень много, что делает из них излюбленный экзаменаторами во­прос на приемных экзаменах.

Теория вращений и движений евклидовой плоскости исчерпывается приведёнными формулами.

Задача. Докажите, что при любом натуральном п

cos(ntp) + г sin(rup) = (cos tp + г sin tp)n

(эта формула называется формулой Муавра, так как её открыл гораздо раньше совсем другой человек).

Пример. Из этой формулы следует (путём раскрытия скобок в би­номе правой части), что и cos(ntp), и sin(ntp) — вещественные много­члены с целыми коэффициентами от переменных ж = cos tp, у = simp. Или, иными словами, тригонометрические многочлены (линейные ком­бинации синусов и косинусов кратных углов) можно рассматривать как ограничения обычных многочленов от двух переменных (х и у) на ок­ружность (ж2 + у2 = 1).

В частности, очень часто полезны формулы

cos(2<^) = cos2 ip — sin2 tp,      sin(2<^) = 2 sin tp cos tp, cos(3<^) = 4 cos3 tp — 3 cos tp,   sin(3y)) = 3 sin tp — 4 sin3 tp.

Поскольку косинус — чётная функция, а синус — нечётная функция от tp, то cos(ntp) можно представить в виде многочлена от одного лишь аргумента ж = cos tp (заменив везде sin2 г- на 1 cos2 tp). Эти замечатель­ные многочлены от одной переменной называются многочленами Чебы-шева, они обладают многими полезными свойствами («наименее уклоня­ются от нуля», доставляют «фигуры Лиссажу» на экране осциллографа и т. д.). Простейшие из этих многочленов переписываются в других обо­значениях следующим образом:

Тг(х) = ж,   -7-2 (ж) = 2ж2 — 1,   .Т-з (ж) = 4ж3 — Зж,

Однако, с самого начала возник вопрос: кроме вращений и движений плоскости R2 существуют вращения и движения пространства R3. Каких описывать? Кое-что здесь сделал уже Вессель примерно в 1820 году. Но окончательную теорию построил позднее ирландский математик Гамильтон.

Одним туманным вечером по пути из Тринити-колледжа в Дублине Гамильтон прибег к помощи алкогольных паров. Это и привело его к за­мечательной теореме, которую мы изложим ниже (и которую он пытался перед этим найти много лет). Говорят, что он был так поражён откры­той им формулой, что сейчас же вырезал её перочинным ножиком на пе­рилах деревянного мостика через канал, по которому он в это время шёл. Но я, хоть и искал эту надпись, вырезанную тогда Гамильтоном, не нашёл её на этом мостике.