7. Фундаментальная область модулярной группы

Пусть Сг — группа, порожденная отражениями относительно сторон треугольника Г с углами (тг/р,тг/д,ж/г). Тогда сферу, плоскость или плоскость Лобачевского можно представить в виде объединения тре­угольников дТ (д € Сг), причем треугольники д\Т и д2Т при д\ ф д2 не имеют общих внутренних точек. Последнее свойство обеспечивается требованием поточечного совпадения образов треугольников. В самом деле, если треугольники д{Т и д2Т имеют общую внутреннюю точку, то 9г(х) = д2(х) для всех ж € Г, а значит, дг = д2.

Назовем треугольник Т фундаментальной областью группы С Это определение допускает следующее обобщение. Пусть (7 — подгруппа группы движений сферы, плоскости или плоскости Лобачевского. Назо­вем В фундаментальной областью группы С. если выполняются следу­ющие условия:

1) В — выпуклый многоугольник (в случае плоскости Лобачевского у него могут быть бесконечно удаленные вершины и стороны);

2) многоугольники дВ (д € (?) покрывают всю сферу, плоскость или плоскость Лобачевского;

3) многоугольники д\В и д2В при д\ ф д2 не имеют общих внутрен­них точек.

Отметим, что не у любой подгруппы группы движений есть фунда­ментальная область. Например, у всей группы движений нет фундамен­тальной области.

В качестве простого примера найдем фундаментальную область для подгруппы собственных движений в группе, порожденной отражениями относительно сторон треугольника Г типа (р, д, г).  Нетрудно понять,

что если — симметрия относительно одной из сторон треугольника Т, то объединение Т с вТ представляет собой искомую фундаментальную область. В самом деле, треугольники вида дТ можно разбить на пары {дТ, двТ}. Дело в том, что треугольник двТ определяет ту же самую пару, так как (дз)зТ = дТ

Перейдем теперь к более интересному примеру фундаментальной об­ласти. Напомним, что в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости соб­ственные движения имеют вид г ^ —-, где а, Ь, с, й Е К. и ай — Ьс = 1.

сг + а

Группу матриц размером 2 х 2 с вещественными элементами и опреде­лителем 1 обозначают 5Ь(2,М). Любым двум пропорциональным ма­трицам (и только им) соответствует одно и то же дробно-линейное пре­образование. Поэтому группа собственных движений плоскости Лоба­чевского изоморфна факторгруппе йХ(2, К) /±1 = РвЬ(2, К); здесь I — единичная матрица. В 51/(2, ПК) есть важная подгруппа 51/(2, ^), состо­ящая из матриц с целочисленными элементами. Ей соответствует под­группа Р££(2,й) в Р££(2,К). Группу РБЬ(2,Ъ) называют модулярной группой.

Теорема. Треугольник В с углами (^0, —, — у изображенный на рис. 19, является фундаментальной областью модулярной группы.

 

Доказательство. Рассмотрим в группе С = РйХ(2, Z) элементы = — 1/£иТ(£) = £ + 1. Они порождают некоторую подгруппу С Мы до­кажем сначала, что В — фундаментальная область группы С, а затем докажем, что С = (7, т. е. элементы 5 и Т порождают всю группу С

Прежде всего проверим, что треугольники д'В (д' € С) покрыва­ют всю плоскость Лобачевского, т. е. если 1та(г) > 0, то д'х € В для ' € '

лишь конечное число значений, превосходящих 1т(г).

Доказательство. Ясно, что

т , . т /аг + Ь\ т айх + Ьсг 1т(г) 1ш(дг) = 1т-- = 1т ■ —

сг + й) \сг + й\2      \сг + й\2 '

Поэтому 1ш(дг) > 1т(г) лишь в том случае, когда \сг + й\ < 1. Послед­нее неравенство выполняется лишь для конечного множества пар целых чисел (с, <£), причем для каждой такой пары величина 1т(дг) определена однозначно. □

Группа С содержится в (?, поэтому для любой точки г в верхней полуплоскости можно выбрать элемент д' € С, для которого величина \ш(д'г) максимальна. Преобразование Т(г) = г + 1 не изменяет мнимую часть числа г, поэтому для некоторого элемента и> = Ткд'г, к € выполняется неравенство \ Ке(-ш)\ < 1/2, а величина 1т(-ш) по-прежнему максимальна. В частности,

1т (ад) > 1т (--1 -     4 ;

Поэтому \гу\ > 1, а значит, гю € В.

€€

то д — тождественное преобразование.

Доказательство. Пусть д(г) = --.   Рассмотрим сначала случаи

сх -Ь а

с = 0. В этом случае ад, = 1, т. е. д(г) = г ± Ь. Если Ь ф 0, то лишь для преобразований д(г) = г ± 1 образ множества В пересекается с

\\

1/2, которое не содержит внутренних точек множества В. Предположим теперь, что с ф 0. Тогда

п_в_ 1 9[г} ~ с    с(сг + а1)'

поэтому

г + -

с 1 (7-1)

п'2

Числа о/си ё/с вещественны, поэтому мнимые части чисел д(г) — о/с и г + ё/с равны мнимым частям чисел д(г) иг. А так как мнимая часть любой точки области В не меньше л/З/2, то модули чисел д(г) — а/с и г + ё/с тоже не меньше л/З/2. Следовательно, |с| < 2/л/З, причем с — ненулевое целое число. Таким образом, с = ±1, поэтому соотношение (7.1) можно записать в виде

\д(г) т о\ • \% ± ё\ = 1.

целых чисел о и ё выполняются неравенства

\д(г)та\ > 1,       ^±6^ > 1.

Из леммы 2, в частности, следует, что для несовпадающих элементов '

'

'

д — произвольный элемент группы С Возьмем произвольную внутрен­нюю точку г области В. Точка дг лежит в верхней полуплоскости, по­' €   ' ' €

Фундаментальная область группы Р5Х(2, Ж) представляет собой тре­угольник с углами (0, —, —). Но ее удобнее рассматривать как четырех-

О О

угольник АБС В с углами 0, — ,тг, — (рис. 20). Дело в том, что стороны

о о

этого четырехугольника разбиваются на пары; стороны каждой пары переводятся друг в друга некоторыми элементами группы Р5Х(2,Ж).

Задачи

1. а) Доказать, что фундаментальную область группы Р5Х(2, Ж) мож­но разрезать на два треугольника с углами (и, —. —).

б) Доказать, что подгруппа собственных движений в группе, по­рожденной отражениями относительно сторон треугольника с углами

2. Доказать, что треугольник с углами (0,0,0) можно разрезать на 6 треугольников с углами (и, —, —).

3. Пусть £> = {г € С \И>1, ^(г)\<1>.

а) Доказать, что движения г^^игн— 1/г переводят одну из сторон области В в другую.

б) Доказать, что В — фундаментальная область группы, порожден­ной движениями г — г -\- 2и г — — 1/г.

4. Пусть В = {г€ С

а) Доказать, что В — фундаментальная область группы (?, порожденной движениями гиг+2иги -——у.

б) Доказать, что элементам указанной группы (7 соответствуют в Ж

1

1

1

1

г + -

> -,

г--

> -

2

~ 2'

2

~ 2

(тое12).