6. Замощение треугольниками сферы, плоско­сти и плоскости Лобачевского

Задача, которой мы будем заниматься на этой лекции, возникла у Пуанкаре в связи с построением функций, с помощью которых можно решать линейные дифференциальные уравнения с алгебраическими ко­эффициентами.

Рассмотрим на евклидовой плоскости криволинейный треугольник, образованный тремя дугами окружностей или отрезками прямых. Для такого треугольника можно рассмотреть группу, порожденную отраже­ниями (симметриями) относительно его сторон. Нас будут интересовать треугольники, при отражениях которых относительно сторон получает­ся замощение, т. е. их образы при отражениях либо совпадают, либо не имеют общих внутренних точек. При этом совпадение подразумевается поточечное, т. е. совпадают не только сами треугольники, но и все их соответственные точки.

Не теряя общности можно считать, что две стороны криволинейно­го треугольника являются отрезками прямых (этого можно добиться, сделав инверсию с центром в одной из точек пересечения окружностей, содержащих стороны треугольника). Образы треугольника при отраже­ниях относительно двух прямолинейных сторон составляют замощение тогда и только тогда, когда угол между этими сторонами равен тг/п, где п — натуральное число. (Если не требовать поточечного совпадения образов, то угол может быть равен и 2тг/п.) Поэтому искомый треуголь­ник должен иметь углы (тг/р,тг/д,тг/г); для краткости будем говорить, что такой треугольник имеет тип (р, д, г).

Задача об отражениях криволинейного треугольника с углами а, /?, 7 в зависимости от знака числа а + /9 + 7 — тг фактически является зада­чей сферической, евклидовой или гиперболической геометрии. Точнее говоря, в случае а + /3 + у — тг > О должны дополнительно выполняться три неравенства вида а + /9 < 7 + тг, но для треугольника типа (р, д,г) такие неравенства выполняются автоматически.

Поясним более подробно, что мы имеем в виду. Напомним, что стороны АВ и АС криволинейного треугольника АВС можно считать отрезками прямых. Пусть О — центр окружности, содержащей ду­гу ВС. Если точки О ж А лежат по одну сторону от прямой ВС, то а + /? + 7>тг, а если точки О ж А лежат по разные стороны от прямой

ВС', то а + /3 + 7 < 7г. Поэтому а + /3 + 7 = 7г лишь в том случае, когда 5(7 — отрезок прямой. Таким образом, если а + /3 + 7 = 7г, то мы получаем задачу об отражениях относительно трех евклидовых прямых.

Рассмотрим теперь случай, когда а + /3 + 7 < 7г, т. е. центр окружно­сти S, одержащей дугу ВС, и вершина А лежат по разные стороны от прямой ВС. Проведем из точки А касательные АР и AQ к окружности S (рис. 16). Пусть Si — окружность радиуса АР с центром А. Тогда стороны треугольника ABC являются гиперболическими прямыми для модели Пуанкаре в круге Si. Ясно также, что симметрии относительно сторон криволинейного треугольника ABC являются симметрии отно­сительно гиперболических прямых.

 

Это простое рассуждение имеет важное следствие: в случае а + /3 + 7 < 7г все образы криволинейного треугольника ABC при отражениях относительно сторон лежат либо внутри некоторого круга, либо в неко­торой полуплоскости.

Нам остается разобрать случай а + /3 + 7 > тт. Такое неравенство еще не обеспечивает существование сферического треугольника с угла­ми а,/3,7- Дополнительно должны выполняться три неравенства вида а + /3 < 7г + 7, двойственных неравенствам вида а + Ъ > с. Но если а,/3,7 < 7г/2, то неравенство а + /3 < тг + 7 выполняется автоматически. Поэтому будем считать, что существует сферический треугольник ABC с углами а, /3 и 7. Стереографическая проекция этого треугольника на плоскость, касающуюся сферы в вершине А, представляет собой криво­линейный треугольник АВ'С с углами а, /3 и 7, причем угол А прямоли­нейный. Легко проверить, что если криволинейные треугольники АВ'С и АВ\С\ с соответственно равными углами имеют общий прямолиней­ный угол А, то эти треугольники гомотетичны с центром гомотетии А. В самом деле, если О' ж 0\ — центры окружностей, содержащих дуги В'С и B\G\, то треугольники О'В'С и 0\В\С\ являются равнобедренными треугольниками с параллельными боковыми сторонами, а значит, их основания В'С и В\С\ тоже параллельны. Поэтому, изме­нив при необходимости радиус сферы, можно добиться того, что образ сферического треугольника при стереографической проекции совпадет с рассматриваемым криволинейным треугольником на плоскости. Яс­но также, что симметрии относительно сторон криволинейного треуго­льника соответствуют симметриям относительно сторон сферического треугольника. В самом деле, точки А и В симметричны относительно сферической прямой / тогда и только тогда, когда любая сферическая окружность пересекает сферическую прямую I под прямым углом. По­этому при стереографической проекции точки, симметричные относи­тельно сферической прямой /, переходят в точки, симметричные отно­сительно образа /.

Чтобы найти все возможные сферические и евклидовы треугольники с углами (7г/р,7г/д,7г/г), нужно решить в натуральных числах соответственно неравенство —|---1— > 1 и уравнение —|---1— = 1. Можно

Р д Г р д Г

считать, что р < д < г. Тогда в обоих случаях р < 3. Несложный пере­бор приводит к сферическим треугольникам типа (2,2,п), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) и евклидовым треугольникам типа (3,3,3), (2,4,4), (2,3,6).

 

Непосредственно можно убедиться, что образы всех указанных тре­угольников при отражениях относительно их сторон составляют замо­щение сферы или евклидовой плоскости. Для евклидовых треугольников см. рис. 17. Для образов сферических треугольников при стереографи­ческой проекции можно нарисовать аналогичные картинки. В первых двух наиболее простых случаях см. рис. 18. Отметим, что требуемые замощения сферы (кроме первой серии треугольников) можно получить следующим образом. Соединим центр каждой грани правильного мно­гогранника с вершинами и серединами сторон этой грани. Затем полу­ченную систему отрезков (вместе с ребрами) спроецируем на описанню сферу из ее центра. Тогда для тетраэдра получим систему треугольни­ков типа (2,3,3), для куба и октаэдра получим систему треугольников типа (2,3,4), а для додекаэдра и икосаэдра получим систему треуголь­ников типа (2,3,5).

Чтобы найти все возможные гиперболические треугольники с угла­ми (тг/р, 7г/д, 7г/г), нужно решить в натуральных числах неравенство —Ь

—I— < 1. Это неравенство выполняется для всех достаточно боль­ших чисел р, д, г, поэтому оно имеет бесконечно много решений. Можно доказать, что если —I---I— <1, то образы гиперболического треу-

р     д г

гольника типа (р, д, г) при отражениях относительно сторон заполняют без перекрытий всю гиперболическую плоскость. Доказательство это­го утверждения не столь очевидно, как для евклидовой и сферической геометрии. Мы отложим его до лекции 8, которая посвящена доказа­тельству более общей теоремы Пуанкаре о замощениях гиперболической плоскости многоугольниками.

Задачи

1. Найти все типы евклидовых треугольников, перекатывая которые через их стороны, можно замостить плоскость. (Дополнительно появля­ется треугольник с углами (27г/3,7г/6,7г/6).)

2. Доказать, что в группе, порожденной отражениями относительно сторон треугольника типа (р, д, г), можно выбрать такие образующие ж, у и    что х2 = у2 = г2 = 1 и (ху)р = (уг)4 = (гх)г = 1.

3. Доказать, что группы, порожденные отражениями относительно

47сторон гиперболических треугольников (0, тг/2, тг/3) и (0,0,2тг/3), изо­морфны.

4. Углы многоугольника, образованного дугами окружностей, име­ют вид ж/к. Обязательно ли его образы при симметриях относительно сторон не перекрываются?

5. Сколькими треугольниками с углами тг/2, тг/3 и тг/5 можно замо­стить сферу?