5. Три типа собственных движений плоскости Лобачевского

Для геометрии Лобачевского можно доказать следующую теорему, аналогичную теореме 1.2 (а) для сферической геометрии.

Теорема 5.1. Любое движение плоскости Лобачевского можно пред­ставить в виде композиции не более чем трех симметрий относитель­но прямых.

Доказательство. Напомним основную идею доказательства этой тео­ремы в случае сферической геометрии. Пусть д — некоторая изометрия, причем д(А) = В ф А. Рассмотрим симметрию я относительно прямой I = {Х\АХ = ВХ}. Тогда зд(А) = А. Кроме того, если д(У) = У, то У € I, а значит, вд{У) = У. Поэтому изометрия вд имеет по крайней ме­ре одну дополнительную неподвижную точку по сравнению с д. Приме­нив такую конструкцию не более трех раз, можно построить изометрию, имеющую три неподвижные точки, не лежащие на одной прямой.

Эту схему доказательства можно применить и в случае геометрии Лобачевского. Но для этого нужно ответить на следующие вопросы:

1) Почему множество точек, равноудаленных от двух данных точек, представляет собой гиперболическую прямую?

2) Что такое «симметрия относительно прямой» в случае гиперболи­ческой геометрии?

3) Почему движение гиперболической плоскости, имеющее три непо­движные точки, не лежащие на одной прямой, тождественно?

Ответим на эти вопросы последовательно.

1) Можно считать, что данные точки имеют вид го,%Ь (а,Ь € К). Тогда множество точек (х,у) € И, равноудаленных от них, задается уравнением

х2 + (а- у)2 _ х2 + (Ь - у)2 ау Ьу

т. е. х2 + у2 = аЬ.

2) Назовем точки А ж А* симметричными (или инверсными) относи­тельно окружности 5, если любая окружность, проходящая через точки

*

это определение тоже имеет смысл; оно эквивалентно обычному опреде­лению симметрии относительно прямой.

Понятие симметричности двух точек относительно окружности со­храняется при дробно-линейных преобразованиях.

*

*

О А О А* = В,2, где Я — радиус окружности 5.

*

ской прямой в модели Пуанкаре, если они симметричны относительно

евклидовой окружности, содержащей эту прямую. В том случае, когда гиперболическая прямая является частью евклидовой прямой, легко про­верить, что точки, симметричные относительно прямой, равноудалены от нее. Кроме того, симметрия относительно гиперболической прямой является изометрией.

3) На третий вопрос мы дадим подробный ответ, а именно, опишем все возможные множества неподвижных точек движений плоскости Ло­бачевского. Согласно теореме 3.1 нужно рассмотреть два типа движе­ний.

а(—г) + Ь

а) Уравнение г = ———--      приводится к виду

-

-­т. е.

—с(ж2 + у2) + йх + ах — Ь = 0,  йу — ау = 0.

При а ф а1 последнее уравнение имеет единственное решение у = 0. В таком случае г € Н. Если же о = й, то множеством неподвижных точек

/     а\2     2    ай — Ьс

является гиперболическая прямая (х--+ у =-т—.

V      с/ сА

б) Уравнение г =-- является квадратным. Оно имеет корни

сг + а

а-ё± у/(6 - а)2 + АЬс

31'2 =-2с-"

——

Поэтому

0 = 0       \а + 4\ = 2 (параболическое движение), О > 0       \а + ё\ >2 (гиперболическое движение), О < 0       \а + ё\ < 2 (эллиптическое движение).

аг + Ь

Неподвижные точки преобразования г I—>-- в зависимости от

сг + а

знака О выглядят так, как показано на рис. 12. Отметим, что лишь в случае О < 0 одна из неподвижных точек является неподвижной точкой движения плоскости Лобачевского. Все остальные неподвижных точки лежат вне верхней полуплоскости Н.

Мы ответили на все три вопроса. Тем самым, доказательство теоре­мы 5.1 завершено. □

В = 0

В > О

В < О

Обсудим более подробно собственные движения плоскости Лобачев­ского. Собственное движение можно представить в виде композиции двух симметрии относительно прямых. В плоскости Лобачевского па­ры прямых бывают трех типов: параллельные, не пересекающиеся (и не параллельные) и пересекающиеся. Покажем, что композиции симметрии относительно таких пар прямых представляют собой соответственно па­раболические, гиперболические и эллиптические движения.

Прежде всего выясним, к какому простейшему виду можно привести пару прямых с помощью движения.

1. Для пары пересекающихся прямых удобно воспользоваться моде­лью Пуанкаре в круге. Можно считать, что центр круга является точкой пересечения прямых. Тогда рассматриваемые прямые будут диаметра­ми круга. Композиция симметрий относительно них — поворот вокруг центра. Это преобразование имеет вид х ^ е%Ч)х.

2. Для пары параллельных прямых удобно воспользоваться моделью Пуанкаре в верхней полуплоскости. При этом можно считать, что пря­мые сходятся к точке оо, т. е. они являются лучами, параллельными оси Оу. Композиция симметрий относительно этих прямых имеет вид г ^ г + Н.

3. Не пересекающиеся и не параллельные прямые будем называть расходящимися или сверхпараллелъными. Покажем сначала, что расхо­дящиеся прямые 1\ и /2 имеют общий перпендикуляр га. Обратимся для этого к модели Пуанкаре в верхней полуплоскости. Можно считать, что прямая 1\ является лучом Оу (рис. 13). Проведем из точки О касатель­ную О А к евклидовой окружности, содержащей гиперболическую пря­мую /2- Легко проверить, что гиперболическая прямая га, соответствую­щая евклидовой окружности радиуса О А с центром О, перпендикулярна прямым /1 и /2-

Прямую т можно перевести в луч О у. Тогда прямые її и І-? перейдут в полуокружности с центром О (рис. 14). Композиция инверсий относи­тельно окружностей, содержащих их, имеет вид х ^ кх,  к > 0.

 

Собственное движение можно представить в виде композиции сим-метрий относительно прямых 1\ и І? многими разными способами. Для фиксированного собственного движения рассмотрим множество всех со­ответствующих ему прямых 1{. Назовем это множество пучком прямых. В соответствии с типом движения пучок прямых назовем эллиптиче­ским, параболическим или гиперболическим. Эллиптический пучок со­стоит из прямых, проходящих через фиксированную точку; параболиче­ский пучок состоит из попарно параллельных прямых (т. е. из прямых, проходящих через фиксированную бесконечно удаленную точку); гипер­болический пучок состоит из прямых, ортогональных фиксированной прямой.

С каждым пучком прямых можно связать семейство кривых, ортого­нальных всем прямым пучка. Это семейство кривых получается следу­ющим образом. Рассмотрим все движения д, которые являются компо­зициями симметрий относительно пар прямых данного пучка. Возьмем произвольную точку А плоскости Лобачевского и рассмотрим множе­ство всех точек вида д(А). На рис. 15 изображены полученные кривые для всех трех типов пучков прямых (при этом на самих прямых пучка нарисованы стрелки). Для эллиптического пучка использована модель Пуанкаре в круге, для двух других пучков — модель Пуанкаре в верхній полуплоскости.

В случае эллиптического пучка кривыми, ортогональными прямым пучка, являются окружности. Ортогональные кривые для параболи­ческого пучка называют орициклами или предельными окружностями. Второе из этих названий связано с тем, что эти кривые получаются при бесконечном увеличении радиуса окружности, касающейся данной прямой в данной точке. Ортогональные кривые для гиперболического пучка называют гиперциклами или эквидистантами. Второе название связано с тем, что все точки эквидистанты находятся на одном и том же расстоянии от прямой, которая ортогональна прямым данного гипербо­лического пучка прямых. Обычно эквидистантой (гиперциклом) назы­вают множество точек, равноудаленных от данной прямой; эта кривая состоит из двух ветвей симметричных относительно данной прямой.

Выясним теперь, как устроены собственные движения для модели геометрии Лобачевского на верхней полости двуполостного гиперболо­ида [ж,ж] = —с2, где [ж,ж] = ж2 + х\ — ж|. Прежде всего отметим, что любое линейное преобразование, сохраняющее псевдоскалярное произве­дение [ж, у] и не меняющее местами верхнюю и нижнюю полости гипер­болоида, индуцируют движение плоскости Лобачевского.

Любую плоскость можно задать уравнением [ж, а] = р, где а — фик­сированный вектор, р — фиксированное число. Определим симметрию относительно плоскости [ж, о] = 0 следующим образом. Положим ж > ж' = ж + Аа, где число А таково, что вектор ж + ж' лежит в плоскости симметрии, т. е. [ж + ж', о] = 0. В результате получим отображение

[ж^о] х ■ ■ х   2-г-га.

[а,а\

Это определение имеет смысл при [о, о] ф 0.

Плоскости, касательные к конусу [ж, ж] = 0, задаются уравнениями вида [ж, о] = 0, где [о, о] = 0. Именно относительно этих плоскостей сим­метрия не определена. Все остальные плоскости, проходящие через нача­ло координат, либо пересекают двуполостный гиперболоид [ж,ж] = —с2, либо не пересекают его и при этом не касаются конуса [ж, ж] = 0. Пря­мым плоскости Лобачевского соответствуют лишь плоскости первого типа. Симметрии относительно этих плоскостей не переставляют поло­сти гиперболоида, так как точки пересечения плоскости и гиперболоида остаются неподвижными.

Несложные вычисления показывают, что при [о, о] Ф 0 симметрия относительно плоскости [ж, о] = 0 сохраняет псевдоскалярное произведение, т. е. если х — х1 ж у — у', то [х,у] = [х',у']. Таким образом, сим­метрия относительно плоскости, пересекающей гиперболоид, соответ­ствует симметрии относительно прямой в плоскости Лобачевского. Соб­ственное движение плоскости Лобачевского, соответствующее компози­ции симметрий относительно пары плоскостей, будет эллиптическим, параболическим или гиперболическим в зависимости от расположения прямой пересечения плоскостей (соответственно: прямая пересекает ги­перболоид, прямая принадлежит конусу, прямая лежит вне конуса).

Пусть плоскости [х, а\] = 0 и [х, а2] = 0 пересекаются по прямой, со­держащей вектор Ь, т. е. [Ь, Ох] = [Ь, а2] = 0. Тогда плоскость [х, Ь] = р пе­реходит в себя при симметриях относительно этих плоскостей. В самом тельно плоскостей [х, а\] = 0 и [х, а2] = 0 переводит плоскость [х, Ь] = р в себя. Это означает, что окружность, орицикл и гиперцикл предста­вляют собой сечение гиперболоида плоскостью [х, Ь] = р, где вектор Ь соответственно лежит внутри конуса, принадлежит конусу, лежит вне конуса.

Задачи

1. Доказать, что точки А ж А* симметричны относительно окружно­сти радиуса Я с центром О тогда и только тогда, когда лучи О А ж О А* совпадают и О А х О А* = В?

2. Описать, как выглядит эллиптическое движение в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости.

3. Доказать, что любую пару параллельных прямых можно движени­ем перевести в любую другую пару параллельных прямых.

4. а) Доказать, что две прямые, имеющие общий перпендикуляр, явля­ются расходящимися.

б) Доказать, что общий перпендикуляр к двум прямым единствен.

5. Доказать, что в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости компо­зиция симметрий относительно двух параллельных прямых, сходящихся к точке р £ И, имеет вид г — гю, где

го — р    г — р

6. Доказать, что в модели Клейна любой пучок прямых соответствует семейству евклидовых прямых, имеющих общую точку (лежащую вну­три, на границе или вне круга).

7. Доказать, что все орициклы попарно конгруэнтны.

8. Пусть С\ и С*2 — две кривые, ортогональные прямым одного пучка.

а) Доказать, что все прямые пучка являются осями симметрии кри­вой С\.

б) Доказать, что существует движение, переводящее С\ в себя и при этом переводящее любую точку А £ С\ в любую другую точку В £ С\.

в) Доказать, что все точки кривой С\ находятся на одном и том же расстоянии от кривой С2-

9. а) Доказать, что любые три точки плоскости Лобачевского при­надлежат либо одной окружности, либо одному орициклу, либо одному гиперциклу.

б) Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треуголь­ника принадлежат одному пучку прямых. Обязательно ли этот пучок эллиптический?

10. а) Доказать, что биссектрисы внешних углов треугольника при­надлежат одному пучку прямых.

б) Доказать, что высоты треугольника принадлежат одному пучку.

11. Точка С перемещается по дуге АВ окружности, орицикла или гиперцикла. Доказать, что при этом величина а + /? — 7 не изменяется (а, Р и 7 — углы треугольника АБС).

12. Доказать, что симметрия относительно плоскости сохраняет псев­доскалярное произведение.

13. Доказать, что симметрия относительно плоскости, не пересекаю­щей гиперболоид [ж,ж] = —с2, переставляет полости гиперболоида.

14. Как устроена композиция симметрий относительно плоскостей, пересекающихся а) по оси Ог; б) по оси Ох?

15. Как выглядят орициклы и эквидистанты в модели Пуанкаре в круге?

16. Привести пример движения плоскости Лобачевского, которое не­льзя представить в виде композиции менее чем трех симметрий относи­тельно прямых.