4. Гиперболическая элементарная геометрия

В гиперболической геометрии понятие величины угла можно опре­делить следующим образом. Будем говорить, что величина угла равна 2тг/п, если п углов с общей вершиной, конгруэнтных данному углу, покрывают всю плоскость Лобачевского без наложений. Теперь легко определить угол величиной 2тгт/п, а затем по непрерывности можно определить величину любого угла.

Для модели Клейна и для модели Пуанкаре в круге повороты во­круг центра круга являются движениями. Поэтому в центре круга в обеих моделях величины гиперболических углов совпадают с величина­ми евклидовых углов. Центр круга гиперболическим движением можно перевести в любую другую точку. Для модели Пуанкаре движения со­храняют евклидовы углы, поэтому для нее понятие величины евклідова угла совпадает с понятием величины гиперболического угла. (Угол меж­ду двумя пересекающимися окружностями определяется как угол меж­ду касательными в точке пересечения.) Для модели Клейна движения не обязательно сохраняют евклидовы углы, поэтому для нее величина гиперболического угла не обязательно совпадает с величиной евклидова угла.

На евклидовой плоскости через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой. На плоскости Лобачевского через точку А можно провести целое семейство прямых, не пересекающих данную прямую /. Такие прямые заполняют пару вертикальных углов (на рис. 9 изображены эти углы в модели Клейна). Среди образовавших­ся четырех углов с вершиной А выделим тот, который содержит прямую /. Стороны этого угла назовем лучами, параллельными прямой I. Пря­мые, содержащие эти лучи, назовем прямыми, параллельными прямой I. В геометрии Лобачевского следует говорить именно о параллельных лучах, а не параллельных прямых, потому что два луча, на которые точка А разбивает прямую, ведут себя по-разному по отношению к параллельной ей прямой: один луч приближается, а другой удаляется. В частности, отношение параллельности транзитивно только для лучей.

Углом параллельности для точки А и прямой / называют полови­ну величины угла, образованного лучами с вершиной А, параллельными прямой /.

Угол параллельности а обладает следующим свойством. Опустим из точки А перпендикуляр АН на прямую /. Проведем из точки А луч АВ, образующий угол /3 с лучом АН. Луч АВ пересекает прямую / тогда и только тогда, когда /3 < а. Это свойство можно взять в качестве определения угла параллельности.

Легко проверить, что угол параллельности а зависит лишь от расстояния о от точки до прямой. Выясним, как именно связаны а ж а. Это несложно сделать в любой из моделей. Рассмотрим, например, модель Клейна, причем будем считать, что точка А совпадает с центром круга (рис. 10). По определению

а=2 ,   ҐХН   y А\

ы Vxa-yh)

с ,   /1 + cos а \      , , а.

=   In   z- = cinfcte —).

2    V 1 - cos a J к  Б 21

Следовательно, е~а/с = %g{a/2). При о/с — 0 получаем а — тг/2, т. е. при уменьшении расстояния а или при увеличении «мнимого радиуса» с геометрия Лобачевского приближается к евклидовой геометрии.

В дальнейшем для упрощения формул будем считать, что с = 1.

В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше тт. Это утверждение легко доказать в модели Пуанкаре в круге, поместив одну из вершин треугольника в центр круга (рис. 11). В самом деле, угол А гиперболического треугольника ABC равен углу А евклидова треугольника, а углы при вершинах В ж С у гиперболического треугольника меньше.

В евклидовой геометрии стороны и углы треугольника связаны неко­торыми соотношениями. В геометрии Лобачевского тоже выполняются определенные соотношения между элементами треугольника. Проще всего получить соотношения для прямоугольного треугольника, поэтому с него мы и начнем.

Величины углов треугольника ABC будем обозначать a, ft ж у, а длины противолежащих им сторон будем обозначать а, Ь ж с.

Теорема 4.1. В треугольнике с прямым углом 7 выполняются, следу­ющие соотношения:

а) ch с = ch о ch Ь;

б) tho = shbtga.

Доказательство, а) Можно считать, что А = Ы (k > 1), В = cos<^ +

1 1 + к2 1 + к2

г sin tp ж С = г.   Тогда cho = —-, chb = ——— и chc = ——-.

sm ip 2k 2ksmip

Поэтому ch a ch b = ch c.

При малых о, be соотношение ch a ch b = ch с превращается в соот­ношение a2 + b2 = с2. Таким образом, соотношение ch о ch b = chc можно назвать гиперболической теоремой Пифагора.

б) Снова будем считать, что А = ki (k > 1), В = cos</? + i simp ж С = г. Пусть хо — центр евклидовой окружности, содержащей гипер­болическую прямую АВ.  Тогда х| + к2 = (cos ip — xq)2 + sin2 ip, т. е.

к2 = 1 - 2xq cos ip. Легко проверить, что LAx^O = а. Поэтому

к      2к cos tp tga = -—г =

Так как sh21 = ch21 — 1 и ch a = ——— , то

xq|      к2 — 1 1

phi r-

2

gh2o=^__1= /cosy)У 2 /l + fc2y     1= /fc2 -1

sin2 у) Vsin 4> J V   2^   / V 2^

 til (X

Следовательно, cos tp = th а и ——— = sh Ь, а значит, tg a = ——-.

£K Sil u

При малых ашЬ это соотношение превращается в tga = a/b. □

Из соотношений ch с = ch a ch Ь и th a = sh Ь tg а с помощью тождеств для тригонометрических и гиперболических функций можно получить другие соотношения, например, sho = she sin a, thb = the cos a, cos a = chasin/?, ctg a ctg /? = chc. При малых в, бис эти соотношения прини­мают вид о = с sin а, Ь = с cos a, ctg a ctg /9 = 1, cos а = sin/9.

Для произвольного треугольника в гиперболической геометрии спра­ведливы теоремы, аналогичные теоремам синусов и косинусов в евклидовой планиметрии.

Теорема 4.2. Для произвольного треугольника выполняются следую­щие соотношения:

. sho      shb she

а) —-= ——- = ——   (теорема синусов):

sin a    sin р     sin 7

Доказательство. Опустим из вершины (7 перпендикуляр С Ж на пря­мую АВ. Будем для определенности считать, что точка Я лежит на отрезке АВ (случай, когда точка Я лежит вне отрезка АВ, рассматри­вается аналогично). Обозначим длины отрезков СН, АН и В Я через h, —

а) Запишем соотношения вида sho = she sin а для прямоугольных треугольников АСН и СВН. В результате получим shbsina = sh/i = sho sin/9. Следовательно,

sho _ shb sin a    sin /3'

30б) Запишем соотношения вида сЬосЬЬ = скс для прямоугольных треугольников АСН и С ВН. В результате получим скЪ = спхсЫг и ска = сЬ(с — х) скк. Следовательно, ска = (сЬссЬх — вксвкх) скк = скЬскс — скЬвксЬкх. Кроме того, Ькх = ШЬсоза. □

Выясним теперь, как выглядит в модели Пуанкаре окружность, т. е. множество точек, равноудаленных от данной точки. Для модели Пуан­каре в верхней полуплоскости гиперболическая окружность радиуса г с центром (о, Ь) задается уравнением

——

сЬ г = 1 —

2Ъу

— — —

Пуанкаре в верхней полуплоскости гиперболическая окружность радиу­са г с центром (о, Ь) представляет собой евклидову окружность радиуса

Ьл/ск2 г - 1 с центром (о, Ьскг).

Для модели Пуанкаре в круге Д гиперболическая окружность то­же представляет собой евклидову окружность, так как дробно-линейное преобразование переводит окружность в окружность или прямую. Если центр гиперболической окружности совпадает с центром круга Д, то евклидов центр этой окружности тоже совпадает с центром круга Д. Покажем, что в такой ситуации евклидов радиус Я и гиперболический радиус г связаны соотношением

е =--.  т. е. Д =-= ш -

1-й ег + 1 \2

В самом деле, пусть О — центр круга А, X — точка рассматриваемой окружности, Аж В — точки в которых прямая ОХ пересекает границу круга Д. Тогда

,  (АХ ВО\

1п {ао-вх)

. 1 + д = 1п -

1 - д

Обсудим теперь, как измерять длины кривых в гиперболической гео­метрии. Для определения длины кривой с помощью интеграла требуется элемент длины, т. е. расстояние между бесконечно близкими точками. Если Дя — гиперболическое расстояние между точками г и г + Аг верх­ней полуплоскости,то

\Аг\2 (Дя)2

сЬ(Дя) « 1 + —-— и сЬ(Дя) « 1 н---—.

2(1тг)А 2

\Аг\ \ёг\     ^ёх2 + ёу2

Поэтому Дя « +—-, т. е. ёв = 1—1 = --—.

1т г 1т г у

Для перехода от модели Пуанкаре в верхней полуплоскости Н к мо­дели Пуанкаре в круге Д можно воспользоваться отображением г ^ х — %

гю = -.  Это отображение переводит верхнюю полуплоскость Н в

г + г

единичный круг Д. Несложные вычисления показывают, что

\йя\ _ 2|«йи|

\шг     1 — \гу|2

Таким образом, в модели Пуанкаре в круге Д элемент гиперболиче­ской длины получается из элемента евклидовой длины умножением на

--:—--. Следовательно, гиперболическая длина евклидовой окружно-

1 — \1Ю\Л

сти радиуса Я с центром в центре круга Д равна 2-Я ^-—— ^. Напо­мним, что эта кривая является гиперболической окружностью радиуса г, где г и Л связаны соотношением Л = Ш ^—). Поэтому длина гипер­болической окружности радиуса г равна

4тгШ(§)

л    = 2,7 г.

1 - th2 (

Замечание 1. Длина гиперболической окружности больше длины ев­клидовой окружности того же радиуса, а длина сферической окружно­сти меньше.

Замечание 2. Теорему синусов во всех трех геометриях можно сфор­мулировать одинаково, а именно:

1(о)      1{Ъ) 1(с)

sin a    sin Р    sin 7 где 1(г) — длина окружности радиуса г.

Площадь сферического треугольника можно вычислить по формуле S = R2(a + (3 + 7 — 7г). При замене Л на ic получим формулу для площа­ди треугольника в гиперболической геометрии: S = с2(ж — а — (3 — у). Эти рассуждения можно превратить в полное доказательство, применив теорему о том, что две аналитические функции, совпадающие при всех вещественных значениях, должны совпадать и при всех чисто мнимых значениях. Нас такой путь доказательства не устраивает, но все же из этих рассуждений можно извлечь некоторую пользу. Например, они по­зволяют предположить, что величина ё = тг — (а+/3+у) пропорциональна площади гиперболического треугольника. Назовем эту величину дефек­том гиперболического треугольника. Выпуклый п-угольник можно раз­резать диагоналями на п — 2 треугольника. Легко убедиться, что сумма их дефектов равна (п — 2)тг — Еа,, где а.\,... ,ап — углы п-угольника. Назовем дефектом гиперболического п-угольника с углами а\,..., ап величину ё = (п — 2)тг — Ее**; при этом п-угольник не обязательно вы­пуклый. Вместо внутренних углов а, удобнее рассматривать внешние углы а\ = тт — щ. Дело в том, что дефект многоугольника с внешними углами а\ равен (Еа0 — 2~.

Легко проверить, что дефект обладает следующими свойствами:

1) Дефект любого многоугольника положителен.

2) Если многоугольники М\ и М2 равны, то ё(М\) = ё(М2).

3) Если многоугольник М разрезан на многоугольники М\ и М2, то ё(М)=ё(Мг)+ё(М2).

Площадь многоугольника естественно определить как функцию на множестве многоугольников, обладающую свойствами 1)-3). Можно доказать, что свойства 1)-3) определяют функцию на многоугольниках с точностью до пропорциональности (мы это доказывать не будем). По­этому дефект многоугольника с точностью до пропорциональности ра­вен его площади. Для определения коэффициента пропорциональности к можно воспользоваться тем, что при малых о и Ь площадь прямоуголь­ного треугольника с катетами о и Ь должна быть приблизительно равна аЬ/2. Для такого треугольника

зтё = со8(а + р) =-г2---г2— =

Ш с с

а   Ь, ,    , ,     .     аЪ   а2 + Ь2 аЪ

= —2—(сЬосЬЬ- 1) « —---— = —.

зЬ с с2       2 2

Поэтому к = 1. Напомним, что мы условились считать параметр с рав­ным 1. Чтобы не путать этот параметр с длиной гипотенузы, временно

обозначим его г. Тогда вт<5 = —-. Поэтому в общем случае к = г2.

2гА

Другой подход к определению площади фигуры в гиперболической геометрии заключается в разбиении фигуры на бесконечно малые пря­моугольники. Подробнее этот подход мы обсудим на семинаре.

1. а) Доказать, что соотношение е °/с = tg(a/2) эквивалентно соотношениям ch ^-j sin a = 1, sh ^-j tga = 1 и th ^-j = cos a.

б) Доказать соотношение e-a^c = tg(a/2), используя одну из моделей Пуанкаре.

2. Доказать, что стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями:

а) ch о sin /3 = ch b sin a cos 7 + cos a sin 7;

„4 ,       cos a + cos /9 cos 7 0) ch a =---.

sm p sm 7

3. В модели Клейна сторона гиперболического угла проходит через центр круга Д. Доказать, что если этот угол острый, то его величина меньше величины соответствующего евклидова угла.

4. Доказать, что треугольник и круг — выпуклые фигуры.

5. Доказать, что если соответственные углы двух треугольников рав­ны, то равны и сами треугольники.

6. Доказать,что ортогональная проекция одной из сторон острого угла на другую сторону представляет собой ограниченное множество.

7. Доказать,что стороны и углы треугольника с прямым углом 7 связаны следующими соотношениями: sho = she sin a, thb = the cos a, ctg a ctg /3 = ch c, cos a = ch a sin /3.

о    ч тг (п-2)тг

8. а) Доказать, что при а < - существует правильный угольник, все углы которого равны а и все стороны которого равны.

б) Доказать, что если о и г — сторона и радиус вписанной окружно­сти правильного n-угольника с углом а, то

cos | a cos £ sm sin j

в) При каких п существует правильный n-угольник с углом а = —

п

(т. е. с суммой углов 2тг)?

9. Три угла четырехугольника равны тг/2, а четвертый угол равен 7. Найти 7, если известны длины о и Ь сторон, соединяющих прямые углы.

z — %

10. Доказать, что если w =-, то

z + г

\dz\ _ 2\dw\ Imz     1 — \w\2

11. Доказать, что в модели Клейна элемент длины имеет вид

ёх2 + ф2 - (жф - уйх)2

ds2 =

(1 — х2 — у2)2

12. а) Доказать, что в моделях Пуанкаре в верхней полуплоскости и в единичном круге площадь бесконечно малого прямоугольника со сто-

dxdy dxdy

ронами, параллельными осям координат, равна —— и--——-— соответственно.

б) Рассмотрим в модели Клейна бесконечно малый прямоугольник, образованный линиями р = const, ц> = const, где р, ц> — полярные коор­динаты. Доказать, что длины его сторон равны

dp pdtp

I-P2 ^J2'

13. Доказать, что площадь круга радиуса г равна 4тг sh2 ^—^.

14. а) Доказать, что перпендикуляр, восставленный из середины сто­роны АВ треугольника ABC, перпендикулярен прямой, соединяющей середины сторон АС и ВС.

б) Пусть .Y — .Y' — изометричное отображение одной прямой на другую. Доказать, что середины отрезков XX' либо совпадают, либо лежат на одной прямой.

15. Доказать, что в одной точке пересекаются а) биссектрисы треу­гольника; б) медианы треугольника; в) высоты остроугольного треуго­льника.

Всегда ли медианы делятся точкой пересечения в одном и том же отношении?

16. (Теорема Менелая) Прямая I пересекает стороны ВС, С А и АВ треугольника ABC в точках А\, В\ и С\. Доказать, что

shACi   sh BAi   shCBt _ ^ «h C"i И   «h .41С shBiA

17. (Теорема Чевы) На сторонах ВС, С А и АВ треугольника ABC взяты точки А\, В\ и С\. Доказать, что отрезки АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных соотношений:

. sinACCi   sin BAAi   sin С В В! ,

1 sinCiCB   pin.4i.4C  sin В\ВА

. рЬ .4С"|   рЬ на\   вЬСВг _ ' вЬСхВ ' рЬ .4, С ' рЬ «, .4 ~ '

и ю о1       а + Ь + с

В задачах 18-21 р =---,

18. Доказать,что

--

ё =

(а + /? + 7).

риг а =

Ь с

-

С08   "~г

2 вдовЬс

19. Доказать, что

ё     у'яЬ ррЬ(р - а) рЬ(р - Ь) рЬ(р - с)

а) 2 р|!1 — =

б) - = ш ^ ш

сЬ | сЬ | сп |

--­2       2 2 2

20. Пусть г — радиус вписанной окружности треугольника. Дока­зать, что

/- о)       - Ь) вп(р - с) зпр

21. Пусть Д — радиус описанной окружности треугольника (если она существует). Доказать, что

Л —

\ зт(а + |) зт(£ + |) зт(7 + |)

_ 2    |    | |

у'рЬрь\\(р - а) ь\\(р - Ь) ь\\(р - г)

22. Записать площадь треугольника с нулевыми углами в виде двой­ного интеграла, используя модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.