3. Модели геометрии Лобачевского

От модели Клейна можно перейти к другой важной модели геометрии Лобачевского. Новая модель получается следующим образом. Рассмо­трим сферу, экватором которой служит данная окружность. Пусть А — точка модели Клейна, А\ — точка южной полусферы, проецирующаяся в точку А, А' — точка пересечения экваториальной плоскости с прямой А\И, где N — северный полюс (рис. 5). Сопоставив каждой точке А '

преобразование было изометрией, нужно определить расстояние между ''

старой модели. Полученную таким образом модель геометрии Лобачев­ского называют моделью Пуанкаре в круге.

Выясним, как устроены прямые в модели Пуанкаре. Хорде АВ со­ответствует сечение южной полусферы плоскостью, перпендикулярной экватору. Это сечение представляет собой полуокружность, перпенди­кулярную экваториальной окружности (рис. 6). При проекции из полю­са на экваториальную плоскость эта полуокружность переходит в дугу окружности, перпендикулярной экваториальной окружности. (Это сле­дует из свойств стереографической проекции, которые будут разобраны на семинаре.) Таким образом, для модели Пуанкаре в круге прямыми являются дуги окружностей, перпендикулярных граничной окружности данного круга.

Для модели Пуанкаре данный круг удобно считать единичным кру­гом на комплексной плоскости. {Единичный круг задается неравенством \г\ < 1, г € С.)

Для точек комплексной плоскости, как и для точек вещественной пря­мой, можно рассмотреть двойное отношение

г                     1      23 - 21     24 - 21 21,22,2з,24  = - : -.

-­В этом случае двойное отношение является, вообще говоря, комплексным числом.

'

'

\[А,в,г,щ = \[А,в, г',ш'\\2.

В самом деле, стереографическая проекция является ограничением про­странственной инверсии, поэтому она сохраняет двойное отношение. Кроме того,

А2:гВ = ^:Щ^=АС2 : ВС2 АВ АВ

(см. рис. 6). Таким образом, \ \п[А,В, г, \¥]\ = 2\1п\[А,В, г'\\.

\\

Р(г',уг') = 2\1пр,в, г',\¥'] \\.

По аналогии с бесконечным семейством различных сферических геоме­трий (для разных радиусов Л мы получаем разные геометрии) мож­но получить бесконечное семейство геометрий Лобачевского, положив

,Л/..\\:) = - ЩА.И.Х.М] . Роль параметра с в геометрии Лобачевско­го во многом аналогична роли радиуса Я в сферической геометрии.

Еще одну модель геометрии Лобачевского можно получить, отобра­зив единичный круг на верхнюю полуплоскость Н = {х + '1у £ С | у > 0} с помощью дробно-линейного отображения. Для этой цели годится, на­пример, отображение

.1 + 2

г ь-> V) = %--.

1—2

В самом деле,

Поэтому 1тт > 0       \г\ < 1.

Полученная таким образом модель геометрии Лобачевского называ­ется моделью Пуанкаре в верхней полуплоскости.

Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической геометри­ей. Поэтому прямые, окружности и другие объекты геометрии Лобачев­ского будем называть гиперболическими, чтобы отличать их от евкли­довых прямых и окружностей.

Дробно-линейные преобразования переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Кроме того, они сохраняют углы. Поэтому в верхней полуплоскости Н гиперболическими прямыми являются вер­тикальные лучи и полуокружности, центры которых лежат на действи­тельной оси.

Дробно-линейные отображения сохраняют двойное отношение, по­этому расстояние между точками в модели Пуанкаре в верхней полуплос­кости определяется следующим образом. Пусть гиперболическая прямая АВ подходит к вещественной оси в точках X и У (рис. 7). Тогда

р(А,В)=с|1п[А,В,Х,Г]|.

(Для краткости мы опустили второй знак модуля. Дело в том, что не­сложная проверка позволяет убедиться в его ненужности.) В том слу­чае, когда гиперболическая прямая является евклидовым лучом, поло­—

жим У = оо, т. е.-- = 1.  Для положительного луча мнимой оси

формула для вычисления гиперболического расстояния принимает особую форму.

Выясним теперь, как устроены движения плоскости Лобачевского. Любое дробно-линейное преобразование, сохраняющее верхнюю полуп­лоскость Н, является движением плоскости Лобачевского. Пусть а, Ь, с, а7

тгь   тт аг + Ь

Е К. Легко проверить, что отображения г ^ --, где аа — ос > 0, и

С£ + а

а% + & л     г. ^

2 i———;> где аа — ос < и, сохраняют верхнюю полуплоскость. Ь самом

деле,

сг + б?

т + Ь т (сг + б?) (аг + Ь) т Ьсг + асЬ , _ _ ч 1т г 1т-; = 1т-;-—-= 1т--— = (аа — ос) -

сг + а1

аг + Ь

сг + (

(Ьс — аа1)

сг + (1\2 1т г

|ся + <*|2

\сг + й\2

Теорема 3.1. Любое (гиперболическое) движение верхней полуплоско­сти Н имеет вид

~ ' ' или г I '

сг + о1

где а,Ь,с,с1 Е К г* аа7 — Ьс > 0.

Доказательство. Геометрия Лобачевского обладает тем свойством, что точка С лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда р(А, С) + р(С,В) = р(А,В). Из этого свойства следует, что любая изометрия пе­реводит гиперболическую прямую в гиперболическую прямую.

Предположим, что изометрия (р переводит положительный луч Ь мни­мой оси в гиперболическую прямую (р(Ь), подходящую к вещественной

г — х оси в точках х и у. Тогда одно из двух преобразовании г >—> ±-

является гиперболическим движением д , причем это движение пере­водит гиперболическую прямую (р(Ь) в Ь (если у = оо, то д(г) = г — х.) Таким образом, изометрия д~г(р переводит гиперболическую прямую Ь в себя. Применив, если нужно, изометрию г — кг(к > 0), можно счи­тать, что изометрия д~г(р оставляет точку ъ на месте. Следовательно, точка ъа{а Е К) переходит в такую точку ъЬ, что р{ъ,ъа) = р(г,гЬ), т. е. 11по| = |1пЬ|. В том случае, когда изометрия д~г(р переставляет ги-о

г — —г-1. Для полученной изометрии $-1</? вариант Ь = а-1 отпада­ет, поэтому она оставляет неподвижными все точки гиперболической прямой Ь.

Н можно использовать формулу получить, вычислив координаты точек в которых гиперболическая пря­мая ггю подходит к вещественной оси, а затем вычислив соответствую­щее двойное отношение. Но такой способ требует громоздких вычисле­ний. Проверить эту формулу можно проще. Обе ее части инвариантны относительно вещественных дробно-линейных преобразований с поло­жительным определителем (для правой части формулы достаточно про­верить инвариантность относительно преобразований г — г + а, а Е К, и г — —1/г). Преобразованием такого вида прямую ггю можно перевепроверить, что обе части формулы дают один и тот же результат, а

1 {х у\ именно, — —I— .

расстояния следует, что

\И -г\2 _ \И -д-гф)\2

их этих равенств выполняется для всех точек одновременно. Поэтому (р(г) = д(г) или 1р(г) = д{—г). □

1. В самом деле, пусть аё — Ьс = Ь > 0. Поделим числа о, Ь, с и й на V7?. В результате получим то же самое преобразование, но для новых коэффициентов о, Ь, с и а1 требуемое условие будет выполняться.

Сферическую геометрию и геометрию Лобачевского можно постро­ить единым образом. Точнее говоря, речь будет идти не о сфериче­ской геометрии, а о так называемой эллиптической геометрии, которая получается из сферической геометрии отождествлением диаметрально противоположных точек.

Для единообразного построения эллиптической и гиперболической геометрии нам потребуется комплексное проективное пространство СР2. Оно определяется аналогично вещественной проективной плоскости ИР2, но вместо троек вещественных чисел берутся тройки ком­плексных чисел; тройки считаются эквивалентными, если они получаются друг из друга умножением на комплексное число.

Важное значение будет для нас иметь также кривая х2 + у2 + г2 = 0

С

Рассмотрим точки Р\ = (х\,2/1,21) и Р2 = (ж2,2/2,22), лежащие на сфере ж2 + у2 + г2 = В?. Эти точки можно также считать точками С С

3-1- Покажем, что

где <р — угол между радиусами ОР\ и ОР2. В самом деле, прямая Р1Р2 С

(ж! + Аж2,2/1 + А2/2,21 + Хг2)

23где Л £ С U ж (точке Pi соответствует Л = 0, а точке Р2 соответствует Л = ж). Значения Л, соответствующие точкам Ji, и 32, удовлетворяют уравнению

(Ж1 + Аж2)2 + (ш + \у2? + («1 + Аг2)2 = О,

т. е. 1 + (2 cos (р)\ + Л2 = 0 (мы воспользовались тем, что ж2 + у2 + z\ = Д2, ж| + у2 + г| = Д2 и Ж1Ж2 + J/1J/2 + Z1Z2 = Д2 cos ip). Следовательно,

Л| _ cos ip ±   cos2 ip — 1 _ cos y> ± г sin ip _ ±2i4> h     cos ip т \/cos2 V - 1 cos^=Rsin<£

С другой стороны,

ГР  Р   Г   г 1 - Al ~ 0 ■ Al ~ °° - Al Л2 - О   Л2 - ж Л2

Таким образом,

[Р,.Р2../,../2]=^ 2''-

Поэтому расстояние d между точками сферы радиуса Д можно опреде­лить по формуле

d= P^ = ±|ln[PbP2, JbJ2], (3.1)

где In — функция, обратная экспоненте. Это определение требует неко­торых пояснений, так как рассматриваются функции комплексного пере­менного, причем тождество ё2ш = 1 показывает, что обратная функция многозначная. Но мы никаких пояснений давать не будем, потому что в наиболее интересном для нас случае геометрии Лобачевского аналогич­ная формула содержит лишь функции действительного переменного.

Напомним, как была получена формула (3.1). Мы рассмотрели точки Pi,Р2 £ R3 как точки С3, затем сопоставили им прямые OPi и ОР2, а

С

R и С3 на поверхности ж2 + j/2 + z2 = Д2. В С3 можно рассмотреть не только сферу действительного радиуса, но и сферу мнимого радиуса ж2 + у2 + z2 = —с2, с £ R По сути дела, радиус Д мы заменяем на гс.

Как и в случае обычной сферы, для сферы мнимого радиуса удоб­но ограничиться вещественными точками.   Положим z\ = iz. Тогда

-­эта поверхность представляет собой двуполостный гиперболоид (рис. 8). Отметим также, что при указанном преобразовании поверхность ж2 +

24у2 + г2 = 0 превращается в поверхность х2 + у2 — г2 =0, которая при ве­щественных х, у и г\ является конусом. Пусть Р\ и Р2 — точки верхній ткак точки СР2. Прямая Р1Р2 в СР2 пересекает кривую х2 + у2 — г2 = 0 в точках «/і и 3-і- По аналогии с эллиптической геометрией определим расстояние между точками Р\ и Р2 по формуле

й = ±- ЦРЬР2,Зи 32] = ±- ЦРЬР2, Л, /2].

Оказывается, что в результате получится геометрия Лобачевского! В самом деле, рассмотрим сечение I)2 конуса х2 + у2 — г2 < 0 некоторой плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Лучи ОРі и О«/, пересекают В2 в точках Р/ и 3[, прячем [Р\, Р2, /і, 32] = [Р/, Р2',,/{, ЗЦ- Таким обра­зом, спроецировав верхнюю полость двуполостного гиперболоида на О2 из начала координат, получим модель Клейна геометрии Лобачевского. Отметим, что по аналогии с формулой

2 , й\        (и,«)2

чД/     (и, и) (и, и)

где и = ОРі,у = ОР2, можно записать формулу

о ,'геГ

сое

и, и и, и

где [и,її] = щуі + и2У2 + (іщ)(іу3) = щуі + и2іі2 — ЩЩо Так как сові =

е« _|_ е-и е-* _|_ е* /г(А

---, то соз(И) =--- = сЬ£.  Поэтому сое ( — ) = сії ( - ).

о=

сії2 (-) =

и,и][у,у]

действительно верна; ее можно проверить непосредственными вычисле­ниями.

Задачи

1. Доказать, что преобразование, обратное дробно-линейному, тоже дробно-линейно.

2. Доказать, что любое дробно-линейное преобразование можно пред-

1

ставить в виде композиции преобразовании вида г^-лг^аг + Ь.

2

3. Доказать, что при дробно-линейном преобразовании комплексной плоскости прямая или окружность переходит в прямую или окружность.

4. Доказать, что дробно-линейные преобразования сохраняют углы.

5. а) Доказать, что точки г\ ,г2, 23 € С лежат на одной прямой тогда

и только тогда, когда-£ К

б) Доказать, что точки 21,22,23,24 лежат на одной прямой или окру­жность тогда и только тогда, когда [21,22,23,24] € К

6. Доказать, что если 1т 21 > 0 и 1т 22 > 0, то существует пре­образование 2 I—> —Г|^е ^ 5Х(2, К), переводящее 21 в 22-

(5Х(2, К — множество матриц 2 х 2 с вещественными элементами и определителем 1.)

7. а) Доказать, что стереографическая проекция представляет собой ограничение на сферу инверсии в пространстве.

б) Доказать, что стереографическая проекция переводит окружности на сфере в окружности или прямые на плоскости и сохраняет углы.

в) Доказать, что стереографическая проекция сохраняет двойное от­ношение.

8. Доказать, что точке 2 в модели Пуанкаре в единичном круге со-

прямыми вычислениями.

10. Доказать, что гиперболическая окружность в модели Пуанкаре является евклидовой окружностью (с другим центром).

11. Доказать неравенство треугольника в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости.

12. Найти минимальное гиперболическое расстояние от точки (ж, у) верхней полуплоскости до луча Оу.

13. а) Доказать, что при движении точки прямой ж = 1 по направле­нию к оси Ох расстояние от нее до прямой Оу бесконечно возрастает.

ответствует точка ——-\х\ + 1

в модели Клейна.

9. Доказать формулу

6б) Доказать, что при движении точки вдоль гиперболической прямой -

Оу стремится к нулю.

14. Доказать, что все точки евклидовой прямой у = кх, лежащие в верхней полуплоскости, равноудалены от гиперболической прямой Оу.

15. Доказать, что множество точек, равноудаленных от двух данных точек, представляет собой гиперболическую прямую.

16. Пусть А{ = (хг + ХгХ2,У1 + ХгУ2,гг + А^2) € СР2. Доказать, что

[АЬА2,А3,А4]

17. Доказать непосредственно формулу

, /<Л       [и,и]2 СП       1 —

чс/ \и,и\\у,у\

гдей=±|ЦР1,Р2,/1,/2], и = (.)!>;. г = ()Р2.

18. Доказать, что если все углы гиперболического многоугольника меньше тг, то он выпуклый.

19. Доказать, что в модели Клейна (гиперболическая) окружность представляет собой (евклидову) окружность или эллипс.