2. Проективная геометрия

Геометрия Лобачевского не имеет столь простой и естественной ин­терпретации, как сферическая геометрия. Для геометрии Лобачевского известно несколько моделей. У каждой из них есть свои достоинства, но и у каждой есть недостатки, т. е. для разных целей бывают удоб­ны разные модели. Все модели геометрии Лобачевского, которые мы будем рассматривать, достаточно тесно связаны с проективной геоме­трией. Поэтому сначала нужно познакомиться с основными понятиями проективной геометрии.

При проецировании прямой 1\ на прямую 12 из некоторой точки О

длины отрезков могут не сохранятся. Но если мы для четырех точек

л   т-.  /~«     т-> » т С\А\ ОхАх

Ах, 1*1,01 и ь>1 прямой <1 рассмотрим величину : , то при

01X31 0\Н\

проекциях эта величина сохраняется, т. е.

С\ Л,    0|.4,     С2А2 В2А2

Сфг ' Офг     С2В2 ' В2В2

(см. рис. 1).

В самом деле,

СгАг _ БрсгАг _ ОСг • ОАг sin АхОСх _ ОАг sinAiOCi СгВг ~ БоСгВг ~ ОСг • ОВг sinВхОСх ~ ~ОВ[ ' sin ВгОСг

Поэтому

СгАг   ВгАг     ГОАг   sin АгОСЛ   (ОАг   sin АгОВг

СгВг   ВгВг     \ОВг   sinВхОСх)   \ОВг   sinВгОВг

После сокращения эта величина окажется выраженной только через углы, причем sin^iOCi = sinА2ОС2 и т. д.

СА    ВА      ^ „ Величину —— : —— удобно брать со знаком. Для этого нужно на С В ВВ

прямой / ввести координаты и вместо, например, С А брать с — а, где с и

с — a   d — а л а — координаты точек С ж А. Величину-- : ——- называют двойным отношением четырех точек. В дальнейшем мы будем обычно считать, С А   В А

что величина —— : —— берется со знаком; обозначим ее [А, В, С, В]. С В ВВ

Двойное отношение четырех точек зависит от порядка точек. При перестановках точек оно меняется по достаточно простым правилам. Очевидно, что [А, В,С,В] = [В,А,С,В]-1 = [А,В,В,С]

Назовем преобразование прямой проективным, если оно сохраняет двойное отношение любых четырех точек. Ясно, что любое преобразова­ние прямой, которое можно представить в виде композиции нескольких проецирований, является проективным преобразованием.

Отображение вида х     ах +    Гдеаб/ ф £с назовем дробно-линейным.

сх + а

Теорема 2.1. Преобразование прямой проективно тогда и только то­гда, когда оно дробно-линейно.

Доказательство. С помощью формулы

ах + Ь ау + Ь (ад, — Ьс) (х — у) сх + а1    су + а1    (сх + й)(су + й)

легко проверить, что дробно-линейное отображение сохраняет двойное отношение.

Рассмотрим теперь преобразование прямой, сохраняющее двойное отношение. Пусть а.\, Д и 71 — образы трех различных точек а, /9 и 7. Тогда точка ж и ее образ х\ связаны соотношением

— — — —

—      — — —

Это соотношение позволяет выразить х\ через х по формуле вида х\ =

ах + Ь -. □

сх + d

ах ~\~ b

Дробно-линейное преобразование х і—>-- не определено для точ-

сх + а

точку ж. Тогда можно считать, что

ах + Ъ ё ах + Ъ а

-- = оо   при х = —    и-- = -   при х = оо

сх + а с сх + а с

Точку то можно добавить к прямой следующим образом. Выберем точку О вне прямой I и сопоставим каждой точке А е I прямую О А. Тогда точке то соответствует прямая, проходящая через точку О парал­лельно прямой I. Назовем проективной прямой множество всех прямых на плоскости, проходящих через фиксированную точку О. При этом пря­мые, проходящие через точку О, будем называть точками проективной прямой.

На проективной прямой можно следующим образом ввести коорди­наты. Будем считать, что точка О — начало системы координат на плоскости. Тогда прямая, проходящая через точку О, состоит из точек вида (Лх, Ху), где Л — некоторое число, х и у — фиксированные числа, причем хотя бы одно из них отлично от нуля.  Таким образом, точке проективной прямой можно сопоставить пару чисел (ж,у), причем па­ры (ж, у) и (Лж, Ху) считаются эквивалентными. Эту пару чисел назовем однородными координатами точки проективной прямой.

В однородных координатах проективное преобразование проектив­ной прямой имеет вид

По аналогии с проективной прямой дадим два эквивалентных опре­деления проективной плоскости:

1) множество прямых, проходящих через фиксированную точку в пространстве;

2) множество троек чисел (ж, у, г), где числа ж, у и г не все равны нулю; пропорциональные тройки считаются эквивалентными.

Если числа о, Ь и с не все равны нулю, то множество точек проектив­ной плоскости, удовлетворяющих уравнению ах + Ьу + сг = 0, называют прямой на проективной плоскости.

Проективным преобразованием проективной плоскости называют преобразование вида

(ж, у, г)     (оцж + аГ2у + ат, а21х + а22у + а23г, а3гх + а32у + а33г.)

Подчеркнем, что это должно быть именно преобразование, т. е. взаим­но однозначное отображение проективной плоскости на себя. На языке определителей условие взаимной однозначности эквивалентно тому, что

Проективное преобразование проективной плоскости сохраняет двой­ное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой. В самом деле, не более чем одна из трех однородных координат точек данной проек­тивной прямой тождественно равна нулю. Две другие координаты мож­но считать однородными координатами на проективной прямой. Про­ективное преобразование плоскости индуцирует проективное преобра­зование этих координат.

Проективную плоскость можно представить как обычную плоскость, пополненную бесконечно удаленной прямой г = 0. В самом деле, точке (ж,2/,,г), где г ф 0, можно сопоставить точку с декартовыми координатами

 

(х,у)     (ах + Ъу,сх + Л'у) ■

Оц    Оі2 Оіз

а2\   а22   а23   ф 0.

«ЗІ    Оз2 Озз

Перейдем теперь к построению одной из моделей геометрии Лобачев­ского. Предварительно покажем, как с помощью двойного отношения можно определить «расстояние» между точками о и Ь интервала (ж,у). (Мы имеем в виду не обычное евклидово расстояние.) Положим

Легко проверить, что такое определение имеет смысл, т. е.

В самом деле, ж-а<0, ж-Ь<0, у - а > 0, у - Ь > 0. Ясно также, что р(а,а) = 0 и р(а,Ь) — оо при 6 — х и при Ь — у. Кроме того, р(а,Ь) = р(Ь,о), так как

-

различать точки х и у, т. е. задавать ориентацию интервала (х,у). Из тождества

следует, что ±р(а, Ь) ± р(Ь, с) ± р(с, о) = 0. Более тщательная проверка показывает, что если точка с лежит между о и Ь, то р(о, с) + р(с, Ь) = р(а,Ь).

Расстояние р(а, Ь) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал (х,у).

Теперь можно определить модель Клейна плоскости Лобачевского. Точками модели Клейна являются внутренние точки некоторого круга. Расстояние между точками а и Ъ определяется как р(а, Ь) для интервала (х,у), где х ж у — точки пересечения прямой аЬ с граничной окружно­стью данного круга. Если точки расположены в таком порядке, как на рис. 2, то Ы[а,Ь,х,у] > 0, т. е. р(а, Ь) = Ы[а,Ь,х,у].

1Это не совсем верно. Как будет объяснено в главе 3, в модели Клейна обычно

Теорема 2.2. В модели Клейна прямыми являются хорды круга.

Доказательство. Нужно доказать, что р(а, с) +р(с, Ь) > р(а, Ь), причем если точка с не лежит на отрезке (а, Ь), то р(а, с) + р(с, Ь) > р(а, Ь). Пусть лучи аЪ и Ьа пересекают окружность в точках х и у соответственно, лучи ас и са — в точках х\ и уі, лучи сЪ и Ъс — в точках х-2 и у2 (рис. 3). Тогда точка х' пересечения хорд Х\Х2 и ху лежит на отрезке жЬ, а точка у' пересечения хорд у\У2 и ху лежит на отрезке ау. Пусть р — точка

'

'

Двойное отношение сохраняется при проекции одной прямой на дру­гую. Поэтому

'''

[с,Ь,ж2,Ы = [с',Ь,ж',2/']

(мы рассматриваем проекции из точки р на прямую ху).

'   '   ' ' '     '   ' '

ми словами, нужно доказать, что если точки а, Ь, х, у расположены в та­ком порядке, как на рис. 2, то увеличение отрезка ху приводит к умень­шению двойного отношения [а,Ь,х,у]. Будем считать положительным направление луча ух. Тогда для увеличения отрезка ху к координате точки х нужно добавить положительное число е. Второй конец отрезка оставим пока на месте. Двойное отношение при этом уменьшится, так как

ж — а    ж + є—а є(Ь — а)

---=----- > 0.

ж — Ь    х + є — Ъ     (ж — Ь) (ж + є — Ь)

Для второго конца отрезка доказательство аналогично. В результате получаем неравенства

[а,с,хі,уі] > [а,с',х,у],

[с,Ь,ж2,2/2] > [с',Ь,х,у].

Следовательно,

''

т. е. р{а,с) + р(с,Ь) > р{а,Ъ). □

Геометрия Лобачевского, как и сферическая геометрия и геометрия плоскости, имеет достаточно большую группу изометрий, а именно, лю­бую точку А можно перевести в любую другую точку В и при этом перевести любую прямую, проходящую через точку А, в любую прямую, проходящую через точку В. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит внутреннюю точ­ку А в любую другую внутреннюю точку В. В самом деле, такое пре­образование является изометрией. А для того, чтобы перевести любую прямую в любую другую прямую, можно точку А перевести в центр О круга, а затем точку О перевести в точку В. При этом любую пря­мую, проходящую через точку О, можно поворотом перевести в любую другую прямую, проходящую через точку О.

Теорема 2.3. Существует преобразование плоскости, которое сохра­няет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит его центр в произвольную внутреннюю точку.

Доказательство. Рассмотрим прямой круговой конус с вершиной 5. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, является окруж­ностью с диаметром РО, и центром О. Рассмотрим также сечение конуса плоскостью, проходящей через точку О и перпендикулярной плоскости

'

принадлежит интервалу 0;В, (рис. 4), то рассматриваемое сечение явля­ется эллипсом.

На плоскости ТГ, содержащей этот эллипс, и на плоскости П, содер­жащей окружность с диаметром РО,, можно ввести координаты так, что окружность и эллипс совпадут при отождествлении точек с одинаковы­ми координатами. При этом в качестве начала координат мы выберем соответственно центр эллипса и центр окружности, а в качестве оси Ох выберем прямые Р'О;' и РО;. Тогда точка О, лежащая внутри эллипса, отождествляется с такой точкой 0\ круга, что Р'О \ 00,' = РО\ \0\Q-

При перемещении точки О;' по отрезку 0;К отношение Р'О : 00;' изменяется от 1 до то. Поэтому точка 0\ может быть любой точкой, лежащей внутри отрезка 00;.

Искомым преобразованием является композиция отображений / : П — П, и гу : П — П, где / — проекция из точки 5, а д — отожде­ствление точек с одинаковыми координатами. □

Задачи

1. Доказать, что проективное преобразование прямой однозначно за­дается образами трех точек.

2. Доказать, что любое проективное преобразование прямой можно представить в виде композиции проецирований прямых.

(хх -Ь Ъ

-- тождествен тогда и только тогда, когда о + й = 0.

сх + а

4. а) Показать, что при отождествлении диаметрально противопо­ложных точек сферы из сферической геометрии получается геометрия проективной плоскости.

б) Показать, что при этом полярное соответствие принимает следу­ющий вид: точке (о, Ь, с) соответствует прямая ах + Ьу + сг = 0.

5. Доказать, что сечение прямого кругового конуса х2 + у2 = аг2 плоскостью, не проходящей через его вершину, является либо эллипсом, либо параболой, либо гиперболой.

6. Существует ли проективное преобразование плоскости, сохраняю­щее окружность, но переводящее ее внутренние точки во внешние?

7. Сколько различных значений принимает двойное отношение четы­рех точек при перестановках этих точек?

8. Убедитесь, что если точка с лежит между о и Ь, то равенство ±р(а, Ь) ± р(Ь, с) ± р(а, с) = 0 принимает вид р(а, с) + р(с, Ь) = р(а, Ь).

9. Как с помощью циркуля и линейки выполнить следующие постро­ения в модели Клейна:

а) построить середину данного отрезка;

б) соединить данную точку с данной прямой кратчайшим отрезком (т. е. опустить перпендикуляр);

в) построить биссектрису угла между данными двумя прямыми?

10. Доказать, что любое дробно-линейное преобразование можно пред­ставить в виде композиции не более, чем трех инволютивных преобра­зований. (Преобразование называется инволютивным, если его компо­зиция с собой есть тождественное преобразование.)