1. Сферическая геометрия

Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие» или «измерение земли». При таком толковании этого слова естественно счи­тать, что геометрия занимается изучением свойств прямых на поверх­ности некоторой планеты. При этом кривая на поверхности планеты называется отрезком прямой, если любая другая кривая с теми же на­чалом и концом имеет большую длину. Кривая называется прямой, или геодезической, если любая ее достаточно короткая дуга является отрез­ком прямой.

Замечание 1. Слова прямая и геодезическая — существительные, а не прилагательные.

Замечание 2. Условие «достаточно короткая» существенно для сферы. В остальных случаях, которые будут нам интересны (евклидова плос­кость и плоскость Лобачевского), это условие можно отбросить.

В наиболее известной модели геометрии рассматривается неограни­ченная планета, представляющая собой полупространство. В качестве другой модели геометрии можно взять планету, представляющую собой шар. Такую геометрию называют сферической. Выясним, как устроены прямые в сферической геометрии. Назовем большим кругом сечение ша­ра плоскостью, проходящей через его центр. Границу большого круга назовем большой окружностью. Через любые две точки сферы можно провести большую окружность. Если точки не диаметрально противо­положные, то через них проходит единственная большая окружность.

Теорема 1.1. Пусть А и В — не диаметрально противоположные то­чки сферы. Тогда на поверхности сферы кратчайшей кривой, соединя­ющей точки А и В, будет более короткая дуга большой окружности, проходящей через точки А и В.

Доказательство. Назовем сферической ломаной кривую, составленную из дуг больших окружностей. Кривую на сфере можно с любой точно­стью приблизить конечнозвенной сферической ломаной, поэтому доста­точно доказать, что дуга АВ короче любой другой сферической лома­ной, соединяющей точки А ж В. Как и в случае евклидовой плоскости, достаточно рассмотреть двузвенные ломаные. В самом деле, если парузвеньев Р(^ и <^Н заменить более коротким РТ1. то после нескольких та­ких операций ломаная заменится на одно звено, причем это звено будет короче исходной ломаной.

Длина дуги АВ равна <^зД, где Д — радиус сферы, у> — угол, под которым отрезок АВ виден из центра сферы. Таким образом, доказа­тельство теоремы сводится к известному неравенству для трехгранных углов: сумма двух плоских углов трехгранного угла больше его третьего плоского угла. □

Значит, сферическими прямыми являются большие окружности.

Расстоянием между двумя точками сферы называют длину более ко­роткого отрезка сферической прямой, проходящей через эти точки. (В случае, когда точки диаметрально противоположны, можно взять лю­бой из отрезков любой из сферических прямых, проходящих через эти точки.)

Движением или изометрией сферы называют ее взаимно однозначное преобразование, не изменяющее расстояний между точками. Примерами движений сферы служат вращение сферы вокруг оси, проходящей через ее центр, и симметрия относительно плоскости, проходящей через центр.

Теорема 1.2. а) Любое движение сферы можно представить в виде композиции не более чем, трех симметрий относительно плоскостей, проходящих через ее центр.

б) Любое движение сферы, сохраняющее ориентацию, является вра­щением вокруг оси.

Доказательство, а) Точку X называют неподвижной точкой преобра­зования /, если /(X) = X. Движение сферы, имеющее три неподвижные точки, не лежащие на одной сферической прямой, тождественно.

Пусть / — движение сферы, А — точка сферы, не являющаяся не­подвижной. Рассмотрим симметрию я относительно плоскости П (про­ходящей через центр сферы), при которой точка А переходит в точку /(А). Если X — неподвижная точка преобразования /, то (евклидово) расстояние от точки X до точки А равно расстоянию от точки X = /(X) до точки /(А). Следовательно, точка X лежит в плоскости П, а значит, преобразование я/ имеет неподвижные точки X и А.

Эта конструкция позволяет построить движение вг... я*/, где к < 3, имеющее три неподвижные точки, не лежащие на одной сферической прямой. Таким образом, ... я*/ = 1й (тождественное преобразование) и/= «-1---«Г1 =вк....з1.

5б) Симметрия относительно плоскости, проходящей через центр сфе­ры, изменяет ориентацию сферы. Поэтому композиция нечетного ко­личества симметрий изменяет ориентацию, а композиция четного коли­чества симметрий сохраняет ориентацию. А так как любое движение сферы можно представить в виде si, S1S2 или S1S2S3, то любое движение сферы, сохраняющее ориентацию, можно представить в виде s\S2-

Легко проверить, что композиция двух симметрий относительно пло­скостей, пересекающихся по прямой I под углом ip, является поворотом на угол 2<р вокруг оси I. □

Сферическая геометрия обладает очень важным свойством: любую точку А можно движением перевести в любую точку Л, переведя при этом любую прямую, проходящую через точку А, в любую прямую, про­ходящую через точку В. Из этого, в частности, следует, что в форму­лировках теорем сферической геометрии не нужно указывать, о какой именно точке или прямой идет речь. А если бы мы попытались строить геометрию для планеты несимметричной формы, то для каждой точки пришлось бы формулировать отдельную теорему.

Понятие изометрии можно определить не только для отображений множества на себя, но и для отображений одного множества на другое. Ясно, что сфера и плоскость не изометричны, т. е. не существует изо­метрии сферы на плоскость. В самом деле, расстояние между точками сферы ограничены, а расстояние между точками плоскости неограниче-ны.

Более содержателен вопрос о том, изометрична ли область на сфере некоторой области на плоскости. Иными словами, можно ли нарисовать на плоскости карту некоторой области на сфере так, чтобы расстояние между любой парой точек сферы равнялось расстоянию между парой соответствующих точек плоскости.

Теорема 1.3. Область на сфере не может быть изометрична области на плоскости.

Доказательство. Назовем сферической окружностью множество то­чек сферы, удаленных от некоторой точки сферы (центра окружности) на данное расстояние г (радиус окружности). Если отрезок ОХ виден из центра сферы под углом а, то сферическая окружность с центром О, проходящая через точку X, имеет сферический радиус Ra, а евкли­дов радиус этой окружности равен Л sin а. Таким образом, сферическая

6окружность радиуса г = На имеет длину

2ттН8та = 2ттН8т(г/Н) < 2тгД(г/Д) = 2жг.

Любая область на сфере содержит сферическую окружность доста­точно малого радиуса г. Длина этой сферической окружности меньше длины евклидовой окружности радиуса г. Но при изометрии окруж­ность радиуса г должна перейти в окружность того же радиуса, причем

Замечание. Чтобы не рассматривать длину окружности, можно рас­смотреть длину стороны правильного треугольника, вписанного в окру­жность радиуса г.

Для сферической геометрии можно определить полярное соответ­ствие, при котором каждой большой окружности 5 сопоставляется па­ра концов диаметра сферы, перпендикулярного 5, а каждой паре диаме­трально противоположных точек А ж В сопоставляется большая окру­жность, лежащая в плоскости, перпендикулярной АВ. Будем говорить, что большой окружности сопоставляются ее полюса, а паре диаметраль­но противоположных точек сопоставляется их поляра. Легко проверить, что если две большие окружности 5х и 5г пересекаются в точках А\ ж А-1, та поляра точек А\ ж Ач совпадает с большой окружностью, про­ходящей через полюса больших окружностей 5х и 5г. Таким образом, полярное преобразование переводит точки в прямые, а прямые в точки, причем утверждение «прямые I и т пересекаются в точке А» переходит в утверждение «точки /   и т1 лежат на прямой А1».

Сферическому треугольнику АВС можно сопоставить полярный ему треугольник А1 В1 С следующим образом: А1 — тот из полюсов сфериче­ской прямой ВС, который лежит вместе с точкой А по одну сторону от этой прямой; точки В' к С1 определяются аналогично. Легко проверить

следующие свойства полярного треугольника:

2) если а, Р ж 7 — углы треугольника АВС, аН, ЬГ{, ж сВ, — длины его сторон (Л — радиус сферы), тотг — а, тг — Ьитг — с — углы полярного треугольника А'В'С", (тг — а)Н, (тг —/?)Д и (тг—у)В, — длины его сторон.

Для доказательства свойства 1) рассмотрим центр О сферы. Так как ОА' ±ОСк ОВ' _|_ ОС, то ОС ±ОА'В'.

Свойство 2) следует из того, что внутренние нормали к двугранному углу величиной а образуют между собой угол ж — а.

В сферической геометрии, в отличие от евклидовой, треугольники с соответственно равными углами обязательно равны. В самом деле, из равенства углов двух треугольников следует равенство сторон их поляр­ных треугольников.

Таким образом, в сферической геометрии можно вычислить площадь треугольника, зная его углы.

Теорема 1.4. Площадь сферического треугольника ABC с углами а, (3 и 7 равна где R — радиус сферы.

Доказательство. Рассмотрим сначала сферический двуугольник, т. е. одну из четырех фигур, на которые разбивают сферу две сферические прямые. Пусть S(a) — площадь сферического двуугольника с углом а. Ясно, что S(a) пропорциональна а и S(ir) = 2жЯ2 (площадь полусферы). Поэтому S(a) = 2aR2.

Пары сферических прямых АВ, ВС и С А образуют 12 сферических двуугольников. Выберем из них 6 сферических двуугольников, содер­жащих либо треугольник ABC, либо симметричный ему (относительно центра сферы) треугольник А\ В\ С\. Каждая точка треугольника ABC и треугольника А\В\С\ покрыта ровно тремя такими двуугольниками, а любая другая точка сферы покрыта ровно одним двуугольником (точки сферических прямых АВ, ВС и С А мы не рассматриваем). Поэтому

4(а + Р + j)R2 = 4тгД2 + 2Sabc + '25,1,г,

А так как Sabc = S.t,/;,<•,- то

Следствие 1. Сумма углов сферического треугольника больше ж.

Радиус сферы R предполагается известным, о, Ь, с — длины сторон сферического треугольника, a, /?, 7 — углы сферического треугольника.

1. Доказать, что а + Ъ> с.

2. Доказать, что а + Ъ + с < 2-Я.

3. Найти длину стороны правильного сферического треугольника, вписанного в сферическую окружность радиуса г.

4. Найти углы автополярного треугольника, т. е. сферического тре­угольника, совпадающего с полярным к нему треугольником.

5. Доказать, что область цилиндра изометрична области плоскости.

6. Существует ли отображение области сферы на область плоскости, переводящее отрезки сферических прямых в отрезки евклидовых пря­мых?

7. Доказать, что для любого сферического треугольника существуют вписанная и описанная окружности.

8. Доказать, что а) медианы, б) высоты сферического треугольника пересекаются в одной точке.

9. Доказать, что площадь сферического круга радиуса г равна

4тгД2 sin2 (^) • В задачах 10-14 считается, что R = 1.

10. Доказать, что в сферическом треугольнике выполняются следую­щие соотношения:

N sin a    sin /3    sin 7 , .

а) -=--        =-        (теорема синусов);

sin a     sin о     sin с

б) cos о = cos b cos с + sin b sin с cos а (первая теорема косинусов);

в) cos а = — cos /9 cos 7 + sin /9 sin 7 cos а (вторая теорема косинусов).

11. Доказать, что

— — —

sin — = \ -:——-, cos — = \ -:——-.

2     V        sin о sin с 2     V     sin о sin с

где р = (о + Ь + с)/2.

. _     S     \,'sinрып(р - a) sin(n - b) sin(p - с)

а) 2 sin — =-1-;

'2 a      b     с '

cos - cos - cos -2      2 2

9б) tg2 т =    ^ *Є        *Є:

4 °2°2°2°2 13. Пусть г — радиус вписанной окружности сферического треуго­льника. Доказать, что

_   /вт(р — а) вт(р — Ь) вт(р — с) у втр

14. Пусть Я — радиус описанной окружности сферического треуго­льника. Доказать, что

=      /вт(а - 8)ет(/3 - в)8т(-у - в)

V 81П Я

15. а) Возьмем отрезок сферической прямой длины аВ, и рассмотрим полюса всех сферических прямых, пересекающих данный отрезок. Дока­зать, что рассматриваемые точки заметают множество площади АаВ?.

б) Дано несколько отрезков сферических прямых, сумма длин ко­торых меньше ~Я. Доказать, что существует сферическая прямая, не пересекающая ни одного данного отрезка.