10.2. Задачи письменных экзаменов

Вариант 1    (4 декабря 1994 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) / — дробно-линейное преобразование проективной прямой такое, что /(о) ф а и /(/(о)) = о для некоторой точки о. Доказать, что /(/(ж)) = ж для всех ж.

2) Указать дробно-линейное преобразование верхней полуплоскости, соответствующее в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского сим­метрии относительно г.

3) Пусть о и Ь — стороны гиперболического треугольника, лежащие против углов а и /? соответственно. Доказать, что если а > /?, то о > Ь.

4) Найти длину дуги АВ орицикла, если известно расстояние а1 между АшВ.

5) Доказать, что длина средней линии гиперболического треугольни­ка меньше половины длины противолежащей стороны.

6) Найти фундаментальную область группы, порожденной двумя дви­жениями, задаваемые в модели Пуанкаре в полуплоскости форму­-    — -

7) Определить тип следующего собственного движения плоскости Ло­бачевского: композиция четырех симметрий относительно последо­вательных сторон квадрата (в модели Клейна), вписанного в абсо­лют.

8) Рассмотрим в пространстве Лобачевского выпуклый п-гранный угол с вершиной на абсолюте. Доказать, что сумма его двугранных

1) Доказать, что любое нетождественное дробно-линейное преобра­зование с неподвижными точками о и Ь имеет вид

Хг — аЬ

х |—>-

2) Записать в виде дробно-линейного преобразования симметрию от-

Пуанкаре в верхней полуплоскости.

3) Сколько инвариантных прямых может иметь соответственно элли­птическое, параболическое и гиперболическое движение плоскости Лобачевского? (Прямая I инвариантна относительно преобразова­ния кр, если <р(1) = I.)

4) Дан правильный гиперболический четырехугольник АВСВ. Пря­мая I симметрична прямой АС относительно прямой АВ. Дока­зать, что прямые I и В В расходящиеся.

5) На плоскости Лобачевского можно естественным образом опреде­лить гомотетию с центром О и коэффициентом к Ф 0. Верно ли, что это преобразование увеличивает расстояние между любыми двумя точками в \к\ раз?

6) Вершины А, В ж С треугольника Д лежат на абсолюте. Треуголь­ник Д' получен из Д последовательными отражениями относитель­но прямых АВ, ВС и АС. Есть ли общие точки (внутри или на

'

7) а) Рассмотрим в пространстве Лобачевского трехгранный угол Г с вершиной в точке то в модели Пуанкаре в полупространстве. Ев­клидова площадь сечения Г орисферой г = а равна 5. Вычислить объем части Г, лежащей в области г > а, если известны Б ж а. (Элемент объема в модели Пуанкаре в полупространстве задается

формулой аУ =-з— .)

г6

б) Доказать, что объем тетраэдра с вершинами на абсолюте коне­чен.

1) Доказать, что любое дробно-линейное преобразование г >—> —

2) Доказать, что композицию симметрий относительно трех прямых одного пучка можно представить в виде симметрии относительно одной прямой.

3) Доказать, что окружности различных радиусов г и Л можно разме­стить так, чтобы их общие внешние касательные не пересекались.

4) Существует ли нетождественное движение г >—► /(г) плоскости Ло­бачевского, для которого расстояние между точками г и $(г) по­стоянно?

5) Рассмотрим выпуклый четырехугольник АВСВ с прямыми углами А, В, С ж выберем на отрезке СВ точку В так, что ВВ = АВ. Доказать, что лучи ВВ ж АВ параллельны.

6) Доказать, что любое движение модели Пуанкаре в круге можно представить как композицию симметрии относительно гиперболи­ческой прямой и евклидова движения круга.

7) Доказать, что к двум плоскостям в пространстве Лобачевского не­льзя провести более одного общего перпендикуляра.

Вариант 4    (18 февраля 1996 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) Доказать, что движение плоскости Лобачевского в модели Клей­на будет евклидовым движением тогда, и только тогда, когда оно оставляет центр окружности модели на месте.

2) Доказать, что длина третьей стороны треугольника со сторонами о, Ь ж углом между ними 7 монотонно зависит от 7.

 

рг + д дг + р

-, где

3) Укажите фундаментальную область группы движений плоскости Лобачевского, порожденной движением, которое в модели Пуанка­ре в верхней полуплоскости задается z — 2z.

4) Окружность 0\ расположена внутри окружности 02, расположен­ной внутри окружности Оз. Описать все возможные конфигурации образов этих окружностей после дробно-линейного преобразова­ния.

5) У четырехугольника на плоскости Лобачевского равны противопо­ложные стороны. Доказать, что прямые, на которых лежат проти­воположные стороны, расходящиеся.

6) Л — радиус круга, площадь которого равна площади правильного 8-угольника с углом тг/4. Обозначим через а угол параллельности, соответствующий отрезку Л/2. Доказать, что tga = 2.

7) Двугранный угол куба в пространстве Лобачевского равен а, угол между сторонами грани равен р. Доказать, что sin — cos — = —.

Вариант 5    (22 декабря 1996 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) Каково взаимное расположение пары прямых, симметричных от­носительно точки (параллельные, пересекающиеся или расходящи­еся)?

2) Какое наибольшее количество непересекающихся полуплоскостей можно расположить на плоскости Лобачевского?

3) Луч падает на прямую и отражается по закону «угол падения равен углу отражения». Написать уравнение отраженного луча в модели Клейна в единичной окружности, если луч идет по оси абсцисс, а «зеркалом» является прямая ах + by = 1 (а/о2 + Ь2 < 1).

4) Орицикл касается стороны АВ и продолжений сторон СВ и С А треугольника ABC. Доказать, что

5) Доказать, что любое несобственное движение плоскости Лобачев­ского представляется в виде композиции симметрии относительно прямой и гиперболического движения, переводящего эту прямую в себя.

6) В трехмерном пространстве Лобачевского собственные движения / и д имеют (различные) общие неподвижные точки на абсолюте А ж В. Доказать, что fg = gf.

7) Числа ai, с*2, ■ ■ ■, ап, принадлежащие интервалу (0, тг), таковы, что их сумма меньше (п — 2)тг. Докажите, что на плоскости Лобачев­ского существует описанный n-угольник с такими углами.

Вариант 6    (16 марта 1997 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) Найти движения плоскости Лобачевского, которые в модели Пуанкаре в полуплоскости переводят точку 1-й в---—, а точку — 1-й

2) Существует ли прямая, пересекающая все прямые из данного пучка параллельных?

3) Сторона АВ в д ABC является диаметром описанной вокруг дАВС окружности. Доказать, что ch2 J?tgatg/? = 1 (J? — радиус описан­ной окружности, а, Р — углы при вершинах А, В соответственно).

4) Имеются две расходящиеся прямые I', I", расстояние между ними d. Из точки О, лежащей на Г и общем перпендикуляре к V ж I", по прямой V начинает равномерно со скоростью v двигаться частица. Найти зависимость от времени расстояния от частицы до прямой I".

5) В модели Клейна сторона острого (гиперболического) угла прохо­дит через центр круга. Доказать, что величина этого угла меньше величины соответствующего евклидова угла.

6) а) Прямая пересекает гиперцикл в точках А ж В. Доказать, что углы, образуемые касательными к гиперциклу в этих точках и этой прямой, равны.

76б) Рассмотрим произвольную точку С на дуге АВ гиперцикла. До­—

/?, 7 — углы треугольника ABC).

7) Ограничение движения трехмерного пространтсва Лобачевского

- - az + b

на абсолют задается дробно-линейным преобразованием --.

cz + ац

Доказать, что это движение является поворотом вокруг некоторой прямой на 180° тогда и только тогда, когда а + d = 0.

Вариант 7    (13 декабря 1998 г. Лектор — О. В. Шварцман)

1) Найти область Дирихле B(zq) группы 6X2(Z) с центром в точке

2) Из точки В, лежащей на стороне идеального треугольника, опуще­ны перпендикуляры В А и ВС на две другие стороны. Найти угол ABC.

3) Доказать, что диаметр окружности, вписанной в треугольник, не превосходит 1пЗ.

4) Зададим три орисферы уравнениями (1,,ж) = \'—х'2 (г = 1,2,3). Найти условия на векторы Ц, при которых орисферы попарно ка­саются.

5) Можно ли замостить правильный треугольник со стороной 100 пра­вильными треугольниками со стороной 1 ?

6) Найти точку, сумма расстояний от которой до сторон идеального треугольника минимальна.

7) Скользящая симметрия получена в результате композиции отраже­ний относительно трех сторон идеального треугольника. Найти

а) инвариатную прямую,

б) величину сдвига вдоль прямой.

8) Даны евклидов и гиперболический треугольники ABC и АВ'С с

одинаковыми соответствующими сторонами.

1) Эквидистанта, проходящая через точки С\ и С2, пересекает абсо­лют в точках А\ и А2; прямые А1С1 и А2С2 пересекаются в точке О. Докажите, что ОС\ = ОС2.

2) Найти радиус наибольшей окружности, которую можно вписать в шестиугольник.

3) На плоскости Лобачевского можно определить гомотетию анало­гично евклидову случаю. Докажите, что в модели Клейна гомо­тетия с центром в центре модели и коэффициентом 1/2 переводит прямые в фигуры, являющиеся прямыми в модели Пуанкаре.

4) Рассмотрим композицию трех поворотов вокруг вершин некоторо­го треугольника. Величина поворота в каждом случае равна удво­енному углу при соответствующей вершине, направление поворота всегда выбирается против часовой стрелки. Последовательность поворотов соответствует обходу вдоль контура треугольника по часовой стрелке. Верно ли, что рассматриваемое движение всегда является тождественным?

5) Три прямые пересекаются в одной точке на абсолюте. Докажите, что существует треугольник, для которого эти прямые являются серединными перпендикулярами к сторонам.

6) В четырехугольнике АВСВ выполняются соотношения

1А + 1В = 1С + /£>,   АВ = ВС. Докажите, что АВ = СВ.

Вариант 9    (9 марта 2001 г. Лектор — О. В. Шварцман)

1) Расстояния между парами противоположных сторон четырехуголь­ника с вершинами на абсолюте равны о и Ь. Докажите, что

иа    иЬ 1 рп - • рп - = I.

2) Все углы треугольника равны а. Рассматривается композиция трех поворотов на угол а (против часовой стрелки) относитель­но его вершин (вершины обходятся по часовой стрелке). Найдите неподвижные точки этого преобразования (включая точки на аб­солюте) .

3) Эквидистанта и прямая пересекаются в двух точках на абсолюте. Конечна ли площадь области, заключенной между ними?

4) В выпуклом гиперболическом четырехугольнике АВСВ углы А и В прямые, а лучи АВ и ВС параллельны. Докажите, что

р\со\ = ^\АВ\ вЪ\ВС\'

5) Для каждого изотропного вектора е (в трехмерном пространстве с псевдоскалярным произведением сигнатуры (2,1)) обозначим че­рез Ое орицикл, задаваемый уравнением (е, х) = у/—(х, х) в век­торной модели плоскости Лобачевского. Найдите необходимые и достаточные условия на два изотропных вектора е\ и е2, чтобы орициклы Оег и Ое2 касались друг друга.

6) Выпуклый гиперболический четырехугольник АВСВ таков, что лучи АВ и ВС параллельны и лучи АВ и ВС тоже параллельны. Докажите, что

\АВ\ + \ВС\ = \АВ\+\ВС\.

Вариант 10    (16 декабря 2001 г. Лектор — В. О. Бугаенко)

1) На сфере проведены две равные дуги большого круга АВ и СВ. Докажите, что найдется такая точка М, что сферические тре­угольники МАВ и МСВ равны.

2) На проективной плоскости прямые АМ и ВС пересекаются в точ­ке .41. прямые ВМ и АС — в точке В\. прямые СМ и АВ — в точке С\, а прямые А\В\ и АВ — в точке X. Докажите, что

[А,в,а,х] = -1.

3) Пусть /ид — проективные преобразования, оставляющие непо­движными точку А и каждую точку прямой £, не проходящей че­рез А. Докажите, что $д =

4) Назовем оритреугольником фигуру на плоскости Лобачевского, ог­раниченную тремя дугами попарно касающихся орициклов.

а) Докажите, что все оритреугольники равны.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в оритреугольник.

5) Все углы шестиугольника на плоскости Лобачевского равны, дли­ны противоположных сторон также равны. Докажите, что диа­гонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

6) Движение плоскости Лобачевского является композицией трех сим-метрий относительно последовательных сторон треугольника с вер­шинами на абсолюте. Сколько неподвижных точек имеют это дви­жение и его ограничение на абсолют?

7) Докажите, что к двум скрещивающимся прямым в пространстве Лобачевского существует ровно один общий перпендикуляр.

Вариант 11    (24 февраля 2002 г. Лектор — В. О. Бугаенко)

1) Диагонали сферического четырехугольника АВСВ равны а\ и 0*2, пересекаются в точке О под углом а и делятся точкой О пополам. Найдите расстояния между точкой О и точками пересечения сфе­рических прямых АВ и СВ.

2) Пусть аффинное преобразование переводит конечное множество точек в себя (это значит, что каждая точка множества переходит в какую-то точку этого же множества). Докажите, что оно имеет неподвижную точку.

3) Точки А, В ж С евклидовой плоскости лежат на прямой I. На от­резках АВ, АС ж ВС как на диаметрах построены окружности. Окружность ш касается всех трех построенных окружностей. До­кажите, что диаметр окружности и> равен расстоянию от ее центра до прямой I.

4) Проективное преобразование плоскости переводит вершины ква­драта АВСВ в себя следующим образом: А — А, В — С, С — В, В — В. Существует ли прямая, переходящая в себя при этом пре­образовании?

80

5) Докажите, что все описанные четырехугольники с вершинами на абсолюте плоскости Лобачевского равны.

6) Докажите, что прямоугольный шестиугольник на плоскости Лоба­чевского однозначно задается длинами тройки попарно несмежных сторон (т. е., что для любой тройки положительных чисел шести­угольник с соответствующими длинами сторон существует и един­ствен) .

7) Можно ли восстановить собственное движение плоскости Лобачев­ского, если известна композиция этого движения и ортогональной проекции на некоторую прямую?

8) Пусть ограничение на абсолют собственного движения трехмер­ного пространства Лобачевского имеет одну неподвижную точку. Докажите, что оно не имеет неподвижных точек в пространстве Лобачевского.

Вариант 12    (1 декабря 2002 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) В К3 даны прямые 11,1'2,1з- Прямые о, Ь, с, ё пересекают каждую из этих трех прямых. Доказать, что двойные отношения для четверок точек, лежащих на прямых 1\, 12, 1з, одинаковые.

2) Рассмотрим на плоскости Лобачевского множество точек, удален­ных на расстояние не более г от данного отрезка длины а1. Вычи­слить длину кривой, ограничивающей это множество.

3) Из середины гипотенузы прямоугольного гиперболического треу­гольника опущен перпендикуляр на катет о. Доказать, что длина этого перпендикуляра меньше половины катета Ь.

4) Сколько существует движений плоскости Лобачевского, переводя­щих в себя: а) данный отрезок; б) данный луч; в) данную прямую?

5) Дан угол /.АОВ на плоскости Лобачевского. Точка X движется по лучу О А. Из точки X опущен перпендикуляр ХН на прямую ОВ. Вычислить Нтх-гоо ЮХН.

6) Эквидистанта, удаленная на расстояние а1 от данной прямой, пере­секает абсолют под углом (р. Доказать, что <р — угол параллель­ности для расстояния о*.

7) Вычислить площадь сферы радиуса г в пространстве Лобачевско­го.

Вариант 13    (16 февраля 2003 г. Лектор — В. В. Прасолов)

1) Двойное отношение четырех точек равно Л. Какие значения мо­жет принимать двойное отношение тех же самых четырех точек, взятых в другом порядке?

2) Докажите, что множество точек, равноудаленных от двух данных расходящихся прямых, является прямой.

3) В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости даны точки г и го. „ \г — 1о\

Положим I =--— • Докажите, что расстояние между точками ги го равно 1п -—-.

4) Пусть §1 и §2 — нетождественные собственные движения плоскос­ти Лобачевского. Известно, что д\дг = дг9\ и движение д\ парабо­лическое. Докажите, что движение §2 тоже параболическое.

5) Дан выпуклый четырехугольник, все углы которого острые. До­кажите, что прямые, на которых лежат его противоположные сто­роны, расходящиеся.

6) Пусть §1 и §2 — собственные движения плоскости Лобачевского, имеющие общую неподвижную точку на абсолюте. Докажите, что движение 9x9291 1 д-1 параболическое.

7) Две плоскости в пространстве Лобачевского не пересекаются.

а) Обязательно ли существует плоскость, им перпендикулярная?

б) Обязательно ли существует прямая, им перпендикулярная?