9. Пространство Лобачевского

Все рассмотренные нами модели плоскости Лобачевского легко обоб­щаются на случай п-мерного пространства, причем доказательства изо-метричности этих моделей проводятся без существенных изменений.

Для модели Клейна и модели Пуанкаре в п-мерном шаре х\ + • • •+ж2 < 1 расстояние между точками А ж В можно определить как расстояние между точками А ж В в соответствующей модели геометрии Лобачев­ского для сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара и точки А ж В.

Для модели Пуанкаре в полупространстве

Нп = {(хи...,хп) € Жп\хп> 0}

расстояние между точками А ж В определяется как расстояние между ними в модели Пуанкаре в полуплоскости, проходящей через точки А ж В ж перпендикулярной границе полупространства Я".

Для модели на полости псевдосферы [х,х] = —с2, где [х,у] = х\у\ + • • • + х-п'Уп — %п+гУп+1 расстояние й между точками х жу задается формулой

\с;   [х, х\ [у, у]

В дальнейшем мы будем работать только с моделями Пуанкаре. В этих моделях гиперболическими подпространствами являются части сфер, ортогональных абсолюту (евклидовы подпространства мы при этом рассматриваем как сферы бесконечного радиуса). Подпростран-—

гиперплоскостями. Чтобы определить симметрию относительно гипер­плоскости в пространстве Лобачевского, достаточно определить симме­трию относительно сферы Бп— в К™. Назовем точки АиВ симметрич­ными относительно сферы Бп— в К™, если любая сфера размерности п — 1, проходящая через точки А и В, ортогональна сфере Бп—. Сим­метрия относительно сферы совпадает с инверсией относительно этой сферы. Инверсия сохраняет двойное отношение, поэтому симметрии от­носительно гиперплоскостей являются движениями пространства Лоба­чевского.

Теорема 9.1. Любое движение п-мерного пространства Лобачевско­го можно представить в виде композиции не более п + 1 симметрии относительно гиперплоскостей.

Доказательство. Аналогичную теорему мы уже доказывали для пло­скости Лобачевского. Поэтому остановимся лишь на той части доказа­тельства, которая не переносится автоматически. А именно, покажем, что если движение имеет п + 1 неподвижную точку, причем эти точ­ки не лежат в одной гиперплоскости, то движение тождественно. Пусть А\,...,        — данные неподвижные точки. Ясно, что точки А\,..., Ат

двух несовпадающих неподвижных точек X и У строгое неравенство треугольника влечет, что все точки прямой ХУ неподвижны. В част­ности, все точки прямой А\А-1 неподвижны. Через любую точку X пло­скости А1А2А3 можно провести прямую, пересекающую прямые А1А2, А2А3 и А± Аз по крайней мере в двух различных точках. Это означает, что все точки плоскости А1А2А3 неподвижны. Аналогично получаем, что все точки подпространства А1А2А3А4 неподвижны и т. д. □

Теорема 9.2. Движение пространства Лобачевского однозначно опре­деляется своим ограничением на абсолют

Доказательство. Воспользуемся моделью Пуанкаре в полупростран­стве. Рассмотрим множество всех гиперплоскостей, проходящих через точку X. Среди их ограничений на абсолют можно выделить сферу минимального радиуса (центр этой сферы совпадает с ортогональной проекцией точки X на абсолют). Ясно также, что по выделенной сфе­ре точка X однозначно восстанавливается. Движение д переводит рас­сматриваемое семейство гиперплоскостей в семейство гиперплоскостей, проходящих через точку д(х). В соответствующем семействе сфер на абсолюте снова можно выделить сферу минимального радиуса, а по ней можно восстановить точку д(х). Это означает, что точку д(х) можно определить, зная лишь преобразование семейства сфер на абсолюте. Для этого, разумеется, достаточно знать лишь ограничение преобразования □

Теорема 9.3. Группа собственных движений трехмерного простран­ства Лобачевского изоморфна Р5Х(2,С).

Доказательство. Согласно теоремам 9.1 и 9.2 группа движений трех­мерного пространства Лобачевского изоморфна группе преобразований плоскости, порожденной симметриями относительно прямых и окруж­ностей. Будем рассматривать плоскость как комплексную плоскость С Симметрии относительно вещественной оси и единичной окружности —

сительно двух параллельных прямых, двух прямых, проходящих через начало координат, и двух окружностей с центром в начале координат переводят г в г + о, ешг ж кг (к > 0) соответственно. Следовательно, любое отображение вида

можно представить в виде композиции симметрий. Ясно также, что лю­бая композиция симметрий относительно прямых и окружностей имеет такой вид.

Собственные движения соответствуют преобразованиям

А так как пропорциональным матрицам соответствует одно и то же пре­образование, то группа собственных движений 3-мерного пространства Лобачевского изоморфна 5Х(2, С)/ ±1. □

 

аг + Ъ

сг + еГ

Для трехмерного пространства Лобачевского по аналогии с плоско­стью Лобачевского можно определить эллиптические, параболические и гиперболические пучки плоскостей. Это позволит доказать следующие утверждения: движений сферы, плоскости и плоскости Лобачевского;

2) в трехмерное пространство Лобачевского можно изометрически вложить сферу, плоскость и плоскость Лобачевского.

Назовем эллиптическим пучком (в трехмерном пространстве Лоба­чевского) семейство плоскостей, проходящих через фиксированную точ­ку; назовем параболическим пучком семейство плоскостей, проходящих через фиксированную точку на абсолюте; назовем гиперболическим пуч­ком семейство плоскостей, ортогональных фиксированной плоскости.

Теорема 9.4. Множество всех композиций симметрий относительно эллиптического, параболического и гиперболического пучка эта под­группа изоморфна группе собственных движений сферы, плоскости и плоскости Лобачевского соответственно.

Доказательство. Для эллиптического пучка рассмотрим модель Пуан­каре в шаре, причем будем считать, что все плоскости пучка проходят через центр шара. Симметрии относительно таких плоскостей порожда­ют группу движений сферы, концентричной с абсолютом.

Для параболического пучка рассмотрим модель Пуанкаре в полупро­странстве, причем будем считать, что все плоскости пучка являются ев­клидовыми полуплоскостями, ортогональными абсолюту (все такие пло­скости проходят через точку то на абсолюте). Симметрии относительно таких плоскостей переводят в себя каждую евклидову плоскость, парал­лельную абсолюту. Ограничения этих симметрий на указанные плоско­сти порождают группу евклидовых движений этих плоскостей.

Для гиперболического пучка рассмотрим модель Пуанкаре в полу­пространстве, причем будем считать, что все плоскости ортогональны некоторой плоскости П, проходящей через точку то. Пусть I — прямая, по которой плоскость П пересекает абсолют. Симметрии относитель­но плоскостей данного пучка являются инверсиями относительно сфер, центры которых лежат на прямой I; эти движения переводят в себя лю­бую евклидову полуплоскость П', ограниченную прямой I. Ограничения этих преобразований на П' являются симметриями относительно окружностей, ортогональных прямой I. Эти преобразования порождают грубые ошибки

На поверхности Р в пространстве Лобачевского можно ввести инду­цированную метрику. Для этого нужно определить элемент длины на поверхности Р (расстояние между бесконечно близкими точками) как расстояние между соответствующими точками пространства Лобачев­ского.

Рассмотрим поверхность, состоящую из образов фиксированной то­чки под действием семейства собственных движений, соответствующих пучку плоскостей. Такую поверхность в случае эллиптического, парабо­лического и гиперболического пучка называют сферой, орисферой и ги­персферой соответственно. В рассмотренных нами ситуациях сферами будут евклидовы сферы с центром в центре модели, орисферами будут евклидовы плоскости, параллельные абсолюту, а гиперсферами будут евклидовы полуплоскости, содержащие прямую I.

Для модели Пуанкаре в полупространстве Я3 = {(ж,у,г)\г > 0} эле­мент длины имеет вид дя/г, где еЬ2 = дх2 + ду2 + йг2. Поэтому на орисфере г = а квадрат элемента длины имеет вид а-2(ёх2 + ду2). Та­ким образом, в координатах (х,у) расстояние между точками орисферы пропорционально евклидову расстоянию.

На гиперсфере у = кг квадрат элемента длины имеет вид

йх2 + (1 + к2)дг2 _ ,       2\+ йи2 -5-— (1 + к )-т-,

где и = х/\/1 + к2, V = г. Таким образом, в координатах (и,у) рас­стояние между точками гиперсферы пропорционально расстоянию на плоскости Лобачевского.

Для модели Пуанкаре в единичном шаре элемент длины имеет вид 2дв

--=-г, где ав — евклидов элемент длины, Н — расстояние до цен-

1 — КА

тра шара. Поэтому расстояние между точками гиперболической сферы

2

ж2 + у2 + г2 = В,2 в--— раз больше расстояния между точками ев-

1 — Нл

о ООО _ *л

клидовои сферы ж + у + г  = Л . Таким образом, рассматриваемая

гиперболическая сфера изометрична евклидовой сфере радиуса--—.

1 — КА

Кватернионная модель

Движение трехмерного пространства Лобачевского можно предста­вить с помощью кватернионов. Напомним, что кватернионами называ­ют алгебру над К с образующими 1,г,],к и соотношениями г2 = р =

ассоциативна. Положим

Я3 = {г-Из\г € С,  г > 0}.

Действие матрицы 7 = ^ ^ ^ ^ € 5Х(2, С) на точки абсолюта С за­дается формулой у г = —Требуется продолжить это действие на

кватернионы вида д = г + Ь > 0. Это можно сделать двумя эквива­лентными способами:

уд = (ад + Ъ)(сд + о*)-1 = (дс + ё)-1(да + Ъ).

Прежде всего проверим, что обе формулы действительно эквивалентны, т. е.

(дс + ё) (ад + Ъ) = (да + Ь) (сд + ё).

Числа о, Ь, с и ё попарно перестановочны, поэтому требуемое равенство

Проверим теперь, что уд = г' + I1 ], где I1 > 0. Учитывая, что ](сг + ё) = (сг + а1)] и аё — Ьс = 1, получаем (од + Ь)(сд + ё) = (ах + Ъ)(сг + ё) + асЛ2 + Ц, поэтому

(од + Ь) (сд + ё)     (аг + Ь) (сг + ё) + ас£2 + Ц 73 =      |сд + о12      = |сд + ё\2 "

Остается проверить, что преобразование у является движением про­странства Лобачевского. Для этого достаточно проверить, что у со­храняет двойное отношение. Ясно, что

73 — 7 3' = (ад + Ь)(сд + ё)-1 — (д'с + ё)-1(д'а + Ь) = (д'с + о")-1 [(д'с + о") (ад + Ь) — (д'а + Ь) (сд + ё)] (сд + ё)-1 = (д'с + (£)-1(д — д ')(сд + ё)-1.

|д'с + й\ = |сд' + а*|, а значит,

, л к — 3'|

173 - 73 I =

С помощью этой формулы легко убедиться, что преобразование 7 сохра-

СА ВА

няет двойное отношение       : -тгтг.

Задачи

1. Доказать, что если движение пространства Лобачевского оставля­ет неподвижными все точки некоторой гиперплоскости, то это движение либо тождественно, либо является симметрией относительно данной ги­перплоскости.

2. Доказать, что ограничение движения трехмерного пространства Лобачевского на абсолют имеет одну или две неподвижные точки.

3. Пусть А, В, С, О — попарно различные точки абсолюта для трех­мерного пространства Лобачевского. Доказать, что существует движе­ние, переставляющее как точки А ж В, так и точки С ж В.

4. Рассмотрим тетраэдр с вершинами на абсолюте.

а) Доказать, что сумма его двугранных углов при любой вершине равна тт.

б) Доказать, что его противоположные двугранные углы равны.

5. Правильный многогранник с вершинами на абсолюте соответству­ет в модели Клейна некоторому гиперболическому многограннику. Най­ти величину двугранного угла этого многогранника для каждого типа правильного многогранника: а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) ико­саэдра; д) додекаэдра.

6. Возьмем в п-мерном гиперболическом пространстве точки г\,..., %п+2 и рассмотрим матрицу А = (ац), ац = сЬ(е^), где йц — расстояние между точками г% и г^. Доказать, что йеЬ А = 0.

7. Пусть В ж г — радиусы двух (п — 1)-мерных сфер в К™, о* — расстояние между их центрами. Доказать, что величина

Д2 + г2 - й2 2Вг

сохраняется при инверсиях.