8. Теорема Пуанкаре о фундаментальном мно­гоугольнике

Рассмотренные нами примеры замощенной сферы, плоскости и пло­скости Лобачевского треугольниками показывают, что наиболее слож­ную структуру имеют замощения плоскости Лобачевского. Тем не менее, можно описать все выпуклые многоугольники на плоскости Лобачевско­го, которые служат фундаментальными областями групп, состоящих из собственных движений. Подчеркнем, что в отличие от замощений тре­угольниками речь теперь будет идти только о собственных движениях. Но это не мешает одновременно получать результаты о замощениях тре­угольниками. Дело в том, что если склеить треугольники Г и вТ, где я — симметрия относительно одной из сторон треугольника Г, то в резуль­тате получится фундаментальная область В группы, состоящей лишь из собственных движений. А из замощения плоскости Лобачевского обра­зами фигуры В легко получить замощение образами треугольника Г.

Пусть М — выпуклый многоугольник на плоскости Лобачевского. Предположим, что М — фундаментальная область некоторой группы £?, состоящей лишь из собственных движений. Для фундаментальной области М можно рассмотреть многоугольники вида дМ(д € £?), пере­сечения которых с М непустые; таких многоугольников конечное число. Пересечение выпуклых множеств М и дМ не имеет внутренних точек, поэтому оно является либо точкой, либо отрезком. Все отрезки вида М П дМ назовем сторонами фундаментальной области М, а все точ­ки тройных пересечений М П дМ П НМ назовем вершинами фундамен­тальной области. Концами каждой стороны фундаментальной области являются вершины фундаментальной области. Отметим, что вершина фундаментальной области М не обязана быть вершиной многоугольни­ка М (рис. 21).

К каждой стороне а фундаментальной области М приклеивается не­который многоугольник <?(М), поэтому а = д(Ь): где Ь — некоторая сто­рона фундаментальной области М. Ясно, что к стороне Ь приклеивает­ся сторона д-1 (а) фундаментальной области д-1(М). Поэтому стороны фундаментальной области М разбиваются на пары сторон, переводя называют движениями, спаривающими стороны.

Случай а = д(а) не исключен. Легко проверить, что собственное движение д ф \& переводит отрезок в себя лишь в том случае, когда д — симметрия относительно середины отрезка. Поэтому от ситуации, когда а = д(а): можно избавиться, добавив к числу вершин середину отрезка а. Подчеркнем, что вершины такого типа добавляются лишь для того, чтобы стороны в парах были различны. Если эти вершины не добавлять, то никаких других осложнений не возникает.

Каждое движение <?, спаривающее стороны, переводит пару вершин А\,А<1 в другую пару вершин ^(^-1), ^(^-2)- Соединим вершины А{ и д(А^) ориентированным ребром; движению д-1 соответствует то же самое ре­бро, но с другой ориентацией. Проведем такие ребра для всех спари­вающих движений. В результате получим некоторый граф. Каждой вершине соответствуют ровно два спаривающих движения, поэтому из каждой вершины графа выходят ровно два ребра. Таким образом, полу­ченный граф состоит из нескольких циклов. Вершины, входящие в один цикл, назовем эквивалентными.

Рассмотрим цикл А\... Ап. Его ребра можно ориентировать так, что дг{Аг) = Аш. Покажем, что если точки Ах,..., А п не лежат на абсолю на угол а\ + • • • + ап, где а, — угол при вершине А^. Ясно, что

-

Пусть о — та сторона фундаментальной области, которую движение д± переводит в другую сторону. Собственное движение

! = П%дп...П%д2ПХ91

переводит в себя точку А\ и прямую о, поэтому / = 1й. Легко проверить, что для любого движения Л справедливо равенство

ЪЩ = Щ^А)Ь, (8.1)

го движения Л. Воспользовавшись этим равенством (для собственных движений), получим

/ = Е%дп ... ЕаА\9291Е% =■■■=

соответственно.   Применим к этим многоугольникам степением того, что в результате получится замощение окрестности точки А, является равенство а± + • • • + ап = 2тт/к, к € N.

Мы получили некоторые необходимые условия того, что выпуклый многоугольник на плоскости Лобачевского является фундаментальной областью. Оказывается, что эти условия не только необходимы, но и достаточны.

Теорема (Пуанкаре). Пусть выпуклый гиперболический многоуголь­ник М обладает следующими свойствами:

1) стороны многоугольника разбиты на пары {а,Ь}, причем для ка­ждой такой пары сторон существует спаривающее их собствен­ное движение д, т. е.Ь = д(а) = МП д{М);

2) сумма углов при эквивалентных вершинах равна 2ж/к, к € N.

Тогда М — фундаментальная область группы (?, порожденной дви­жениями, спаривающими стороны.

Доказательство. Прежде всего докажем, что если многоугольники этого можно будет считать, что К\ = 1й. Преобразование д = Н2 представим в виде композиции преобразований, спаривающих сторовыбрать преобразование д с наименьшей длиной разложения к. Пусть А — общая внутренняя точка многоугольников М и д(М). Разложе­нию д = ди ■ ■ .дг можно сопоставить замкнутую ломаную А\... А*, где А\ = А, Ав+1 = дв{А„) при в > 1. Точки Ае и А„+\ не могут совпа­дать, потому что они являются внутренними точками двух выпуклых многоугольников, имеющих общую сторону. Из минимальности длины разложения следует, что ломаная А\... Ап несамопересекающаяся.

В том случае, когда ломаная А\.. .А% представляют собой обход во­круг одной из вершин многоугольника М, преобразование д по условию является поворотом на угол 2тг вокруг этой вершины, поэтому д = 1й. Предположим теперь, что ломаная получается в результате объединения двух ломаных, причем их общие стороны проходятся в разных направлеасчу = 1. Поэтому для замкнутой ломаной, полученной в результате объединения нескольких обходов вокруг вершин многоугольников, тоже выполняется равенство д = 1й. Ясно также, что любую замкнутую неса-мопересекающуюся ломаную, соответствующую разложению преобразо­вания д, можно представить требуемым образом, поэтому д = 1й.

Остается доказать, что образы многоугольника М заполняют все счетное множество, поэтому внутри многоугольника М можно вы­брать точку А так, что отрезок ХА не содержит ни одной из вершин

ногоугольников дМ. Достаточно доказать, что отрезок ХА пересека­ет лишь конечное число многоугольников дМ.

Расстояние между двумя сторонами выпуклого многоугольника рав­но нулю лишь в том случае, когда эти стороны соседние. Поэтому рас­стояние между любыми двумя точками несоседних сторон многоуголь­ника М больше некоторого фиксированного положительного числа. Сле­довательно, на отрезке ХА расположено лишь конечное число отрезков, соединяющих несоседние стороны многоугольников дМ. Будем гово­рить, что отрезок стягивает вершину многоугольника, если его концы расположены на сторонах, выходящих из этой вершины. Предположим, что пара соседних отрезков стягивает неэквивалентные вершины мно­гоугольников д\М и д-2М (рис. 23). Тогда в многоугольнике д±М У д-2М отрезок, составленный из двух рассматриваемых отрезков, не может стягивать вершину (в одну и ту же точку попадают лишь эквивалентные вершины), поэтому он соединяет точки двух несоседних сторон. Следо­вательно, длина полученного отрезка больше некоторого фиксированно­го положительного числа. Таким образом, исключив из рассмотрения конечное число отрезков, можно считать, что все отрезки стягивают вершины одного и того же класса эквивалентности.

Предположим, что на отрезке ХА расположено бесконечно много та­ких отрезков. В том случае, когда стягиваемая ими вершина не лежит на абсолюте, прямая ХА должна спиралеобразно обвиваться вокруг этой вершины (рис. 24), чего не может быть.

 

Из доказательства теоремы Пуанкаре видно, что все соотношения между спаривающими движениями следуют из соотношений, возникаю­щих при обходе вокруг вершин многоугольника. При этом соотношения, возникающие при обходе вокруг вершин одного цикла, эквивалентны.

1. Доказать, что образы гиперболического треугольника с углами тг/р, тг/д, тг/г при симметриях относительно сторон покрывают всю плос­кость Лобачевского.

2. Верно ли, что в гиперболической геометрии композиция поворотов на углы а и /? (с разными центрами) является поворотом на угол а + (Р.

3. Доказать, что группа РБЬ(2,Ж) задается образующими 5 и Г и соотношениями Б2 = 1, (5Т)3 = 1.

4. Рассмотрим правильный гиперболический восьмиугольник с углом 7г/4. Пусть спаривающие движения отождествляют его противополож­ные стороны. Доказать, что получаемая в результате группа задается образующими а,Ь,с,с1 и соотношением аЬсс1а-1Ь-1с-1с1-1 = 1.

5. а) Указать фундаментальную область для группы, заданной обра­зующими оДсо-и соотношением аЪа-1Ъ-1 сЛс-Ч-1 = 1.

б) Доказать, что эта группа изоморфна группе из задачи 4.