§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Общие свойства

Рассмотрим систему т. уравнений с п неизвестными

I    ОцХ, 4- 0,2X2 Н----+ о,„х,г = /,

I    «21 х\ 4- «22^2 Н-----1- а2„хп = /2 , .

«пах, 4- Отгхг -Н-----Ь атпхп = /т.

Будем рассматривать хл____,хт, как координаты неизвестного

вектора х € С",/],..., /п, — как координаты известного векто­ра £ € Ст. Пусть А = — матрица коэффициентов; ясно, что А е Мт ■". Тогда систему (1) можно (и удобно) запи­сать в виде одного уравнения

Ах = f (2)

относительно вектора х. Матрица А задает линейное отобра­жение А : С" —» Ст. Решить систему — значит для заданного вектора f £ Ст найти вектор х е С", удовлетворяющий (2). Иными словами, необходимо найти прообраз вектора f при отображении А Система (2) разрешима тогда и только тогда, когда такой прообраз (хотя бы один) существует.

Если £ = 0, то система (2) называется однородной; если же { ф О, то система (2) называется неоднородной. Будем интересоваться общими вопросами разрешимости системы: 1) существует ли решение; 2) если решение существует, то един­ственно ли оно. Для однородной системы ответ на первый вопрос всегда положительный: однородная система

Аъ = 0 (3)

всегда имеет тривиальное решение г — 0. Возникает вопрос 3) существует ли нетривиальное решение (и ф 0) однородной системы (3). Оказывается, вопрос 2) для неоднородной системы (2) равносилен вопросу 3) для однородной системы (3).

Предложение 1. Пусть х0 € С" — некоторое решение системы (2), ж € С" — произвольное решение системы (3). Тогда х0 + ъ также является решением системы (2).

Доказательство. Из Ах0 — fy^ Аг = 0 следует Л(хо + г) = £

Предложение 2. Пусть хо и X] — некоторые решения системы (2). Тогда X] = х0 + ъ, где ъ является решением системы (3).

Доказательство. Из Ах, — fи Ах0 = ( следует Л(х, — хо) = 0 и (3) выполнено для ъ = х, — х0. •

Общим решением системы (2) (или (3)) называется сово­купность всех ее решений, частным решением называется какое-либо фиксированное решение. Из предложений 1 и 2 вытекает

Теорема 3. Общее решение х неоднородной системы (2) представимо в виде суммы частного решения х0 неоднородной системы (2) и общего решения ъ однородной системы (3): X = х0 + ъ.

Из теоремы 3 вытекает следствие, которое и означает, что вопросы 2) и 3) равносильны.

Следствие 4. Пусть неоднородная система (2) имеет решение Хо. Это решение единственно тогда и только то­гда, когда однородная система (3) имеет лишь тривиальное решение.

Решения однородной системы обладают следующим свой­ством линейности.

Предложение 5. Пусть %\,....ър — некоторые решения системы (3). Тогда их линейная комбинация ъ — с\Ъ\+.. .+сряр (с произвольными постоянными с\,... ,Ср) также является решением системы (3).

Доказательство. Из равенств Аъ^ — О, ] = 1,... ,р, прямо следует Аг = 0. •

Следующее предложение (принцип суперпозиции) отра­жает свойство линейности отображения А : С" —► Ст, задан­ного матрицей А. Оно позволяет находить решение системы с правой частью, равной линейной комбинации векторов ij, 3 — 1.....р, если известно решение системы для каждой пра­вой части

Предложение 6. Пусть Xj является решением системы

Ах.$ — ^, з — 1____,р. Тогда линейная комбинация х = с1х1 +

.. .+СуХр является решением системы Ах = {с правой частью

f= СхЪ + ... + Ср1р.

Доказательство. Пользуясь свойством линейности отобра­жения А, имеем

Ах = А(с,х,+.. .+с1,х7>) = сЛ Ах\+.. ,+СрАхр = с&+.. .+СрГр = !. •