§ 1. Ранг прямоугольной матрицы. Теорема о ранге

Материал этого параграфа относится к теории матриц. Он помещен, однако, в настоящую главу, поскольку понятие ранга матрицы имеет основное значение при исследовании линейных алгебраических систем. Мы дадим три различных определе­ния ранга матрицы, а затем докажем, что все три определе­ния эквивалентны. Это утверждение и составляет содержание теоремы о ранге. В качестве основного варианта мы будем рассматривать комплексный вариант теории. Соответствую­щие утверждения для вещественных матриц и векторов прямо следуют из "комплексных" рассмотрений.

1.  Миноры.  Первое определение ранга матрицы. Для (ш х п) -матриц введем понятие минора порядка г < тт(т, п). Этим будет обобщено понятие минора (порядка п— 1), введенное для квадратных матриц в § 5 главы 1. Пусть А € Мт,п и пусть у А вычеркнуто (т — г) каких-либо строк и (п —г) каких-либо столбцов. Останется квадратная матрица порядка г. Ее определитель называется минором порядка г матрицы А.

Определение 1. Число г = га называется рангом матри­цы А, если хотя бы один ее минор порядка г отличен от нуля, а все миноры порядка г + 1 равны нулю.

Для пеособой квадратной матрицы А е Мп ранг равен ее порядку г 4 = п. Если г = гА — пнп (т,п), то миноров порядка г +1 нет; в этом случае достаточно убедиться, что есть минор порядка г, отличный от нуля.

Если г — гА < ш!п(т,п), то не только миноры порядка г 4-1, но и все миноры более высоких порядков (если они есть) равны нулю. Например, для миноров порядка г + 2 это видно, если каждый из них разложить по элементам какой-либо стро­ки; соответствующие алгебраические дополнения выражаются через миноры порядка г + 1. Затем так же убеждаемся, что равны нулю все миноры порядка г + 3 и т. д. Таким образом,ранг г 4 есть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.

Учитывая свойства определителей и определение 1 ранга матрицы, отметим, что операция транспонирования, а также какая-либо перестановка местами строк (либо перестановка столбцов) не меняют величины Г.4.

2. Линейная зависимость и независимость столбцов (строк). Второе и третье определения ранга матрицы. Да­дим понятие линейной независимости системы векторов в Ст. Пусть е С", А; = 1,..., в; число в назовем длиной этой систе­мы (набора) векторов. Система векторов хь ..., х,, называется линейно зависимой, если найдется набор чисел сЛ,..., с„ не все из которых нули, такой что

сЛ X] + с2х2 + ... + с,х8 =0.   ]Г \ск |2 ф 0.

Система векторов х1;... ,х., называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Иначе говоря, си­стема XI,... ,хя линейно независима, если из равенства

с1х1 + г;2х2 + ... + г,.„х.„ = 0

следует, ЧТО С\ = с2 = .. ■ = с» = 0.

Будем рассматривать столбцы матрицы А как векторы из С". Рангом матрицы А назовем наибольшую из длин линейно независимых наборов, составленных из столбцов матрицы А. Говоря более кратко, мы принимаем следующее

Определение 2. Рангом матрицы А называется макси­мальное число линейно независимых столбцов матрицы А.

Ранг по столбцам (в смысле второго определения) обозна­чим через р — ра-

Подобным же образом будем рассматривать линейно не­зависимые наборы строк матрицы А. Примем

Определение 3. Рангом матрицы А называется макси­мальное число линейно независимых строк матрицы А.

Ранг по строкам (в смысле третьего определения) обозна­чим через р = ра- Сразу же ясно, что рА ~ Ра1-

Очевидно, что какая-либо перестановка строк местами не меняет максимального числа линейно независимых строк рл-Если же переставить местами, например, г-ый и ^'-ый столбцы матрицы А, то это приведет к одновременной перестановке ?'-го и .7-го элементов в каждой строке матрицы А. Ясно, что при этом максимальное число рА линейно независимых строк не изменится. Вообще, какая-либо перестановка местами строк (столбцов) не меняет ни ранга по строкам рА, ни ранга по столбцам р\. Мы уже отмечали, что при этом не изменяется также г А.

3. Теорема о ранге (формулировка). Следствия. Содержательность понятию ранга матрицы придает следующая

Теорема 1 (о ранге). Все три определения ранга матрицы равносильны.

Мы докажем эту теорему в п. 4, а сейчас обсудим ее следствия. Наиболее важным является

Следствие 2. У всякой матрицы максимальное число ее линейно независимых строк равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

Иначе говоря, определения 2 и 3 равносильны. Это силь­ное утверждение, которое сравнительно трудно получить пря­мо. Оно проще всего получается за счет того, что оба эти определения эквивалентны определению 1.

Следствие 3. Определитель матрицы А £ А/" равен нулю тогда и только тогда, когда между ее строками, а также между ее столбцами есть линейная зависимость.

Действительно, каждое из этих трех утверждений означа­ет (в смысле одного из трех равносильных определений), что ранг матрицы А меньше п.

Следствие 4. В координатном пространстве С"1 всякий линейно независимый набор содержит не более т векторов.

Доказательство.   Пусть х]:.... хт,хт+1 € Ст. Составим

из этих столбцов матрицу X — (хь____х„,.х„,+1) с д/тт+>. Ее

ранг не превосходит числа ее строк т. Поэтому и число линей­но независимых столбцов не превосходит т, что и требовалось. •

Следствие 5. В С"' заведомо существуют линейно незави­симые наборы из т векторов. Их образуют столбцы любой неособой матрицы А е Мт.

Напротив, выписывая подряд т линейно независимых век­торов (столбцов) из Ст, мы получим неособую матрицу класса Мт. В частности, единичной матрице / соответствует линейно независимый набор "стандартных ортов"

Єї =

О

О е2

1 О о о

Другой пример: если матрица А — треугольная и на ее главной диагонали нет нулей, то ее столбцы линейно независимы.

В "вещественном" варианте при т = 3 следствие 5 соот­ветствует тому, что три вектора в К3 некомпланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение отлично от нуля.

4. Доказательство теоремы о ранге потребует несколько шагов. Докажем эквивалентность определений 1 и 3, то есть равенство г 4 = р.4.

Лемма 6. Справедливо неравенство

га < Ра­(1)

Доказательство. Рассмотрим какой-либо минор порядка р+1 (здесь р — рА) и обозначим строки матрицы А, входящие в этот минор, через и>\,... ,Шр,ир+\. Эти строки обязательно ли­нейно зависимы: найдется ненулевой набор чисел с\, — Ср+ъ такой что

СіШ, + С2Ш2 + . . . + С[,Шр + Ср+^р+х — 0.

(2)

Пусть при этом ся ф 0 (такой номер я обязательно найдется). Прибавим к строке ш9 остальные строки, умноженные на числа с-к{с-.,)Вследствие свойств определителей, это не изменитминор. При этом в силу (2) в а-ой строке окажутся одни нули, и минор равен нулю. Отсюда следует (1). •

Обратное неравенство доказывается сложнее. Назовем минор матрицы А порядка г = гА базовым, если этот минор не равен нулю.

Лемма 7 (о базовом миноре). Строки матрицы А, не входящие в базовый минор, линейно зависят от строк, вхо­дящих в базовый минор.

Доказательство. Выделим базовый минор, то есть какой-либо минор порядка г — гА, отличный от нуля. Переставим сначала строки, а затем столбцы матрицы А так, чтобы этот минор располагался в левом верхнем углу. При этом оба числа гА и ра не изменятся. Выпишем получившуюся матрицу, сохраняя для нее прежнее обозначение А

(

А =

а-л

а12

0-І2

«г+І,! аг+1,2

а\Т

«2г

аг+1,1

 

а1,г + 1

02,г+1

°г+1,г+1

«2п

^      «ті        «7п2      ' ' '      атт «m.r+l      ' ' '      «mn у

Матрицу, отчеркнутую в левом верхнем углу, обозначим че­рез А0.  По построению А0 Є Мг и det Ап Ф 0.  Далее, набор

a>i____, и>г первых г строк линейно независим, так как иначе

было бы dot Ао = 0. Покажем, что добавляя к этому набору еще одну строку матрицы А, получим линейно-зависимый набор. Пусть это строка сог+1 (иначе опять переставили бы строки). Дополним матрицу А0 элементами (г + 1)-ой строки снизу и s-ro столбца справа, причем я = 1____, п. Полученную матрицуобозначим через А, е Мг+1:

А =

Й21 Й22

«1г

а2г

 

V

«т—1,2

«7- + 1,Г

«1л

«2*

От» Ог+1.

/

Заметим, что dot Л, = 0. Действительно, если s < г, то А, содержит два одинаковых столбца. Если же s > г, то detA, — один из миноров порядка г + 1 матрицы А, а потому он равен нулю по определению числа г = г л- Разложим detA по последнему столбцу, причем заметим, что алгебраические дополнения элементов этого столбца не зависят от номера s. Обозначим их через сх,..., Сг+Х. Заметим также, что

rT+i = det До ф 0. Условие det Д, = 0 теперь запишется в виде

det Д, = ^ ' Cfcab — 0,   s = l.

(3)

(4)

к=1

Совокупность равенств (4) есть развернутая форма соотноше­ния

СХШХ + ... + Сг^г + Сг+ХШг+Х = 0, (5)

причем, в силу (3), набор чисел сх,съ,____с-г+1 — ненулевой.

Итак, между строками шх.....сиг,иг+1 есть линейная зависи­мость. Более того, строка ыт+\ линейно выражается через строки Шь ..., шт. •

Лемма 8. Справедливо неравенство

ра < Гл­(6)

Доказательство. Требуется доказать, что любой набор из г + 1 строк матрицы А — линейно зависимый. Составим из выделенных г 4-1 строк матрицу В Є Мг+1Ясно, что г в < гА. Выделяя здесь ненулевой минор порядка г в, заключаем, что некоторые г в 4-1 строк из В линейно зависимы (это следует из леммы 2 в применении к В). Тем более линейно зависим весь набор строк матрицы В, что и требовалось. •

Теперь легко завершить доказательство теоремы о ранге. Из (1) и (6) следует равенство рА = гА. Для доказательства эквивалентности определений 1 и 2 перейдем от Л к транспо­нированной матрице А'. При этом г а = гАі и Ра = Рл1- По уже доказанному свойству (в применении к A1) rAt = рА>. Следова­тельно, г а =рА. Теорема о ранге доказана. •

5. О вычислении ранга матрицы. Ранг матрицы не меняется при следующих элементарных преобразованиях: 1) транспонирование; 2) какая-либо перестановка строк (или столбцов) местами; 3) умножение строк (или столбцов) на не­нулевые множители; 4) добавление к элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки (то же для столбцов). Отметим, что в п. 1.7.4 вводилось понятие до­пустимых преобразований матрицы. Набор элементарных преобразований несколько шире.

В силу теоремы о ранге каждое из этих свойств достаточно проверить для какого-либо одного определения ранга. Мы уже отмечали выше, что гА не меняется при транспонировании и что ранг (в смысле любого из определений) не меняется при преобразовании 2). Очевидно, что рА не меняется при преобразованиях 3) и 4) относительно строк, а рА не меняется при преобразованиях 3) и 4) относительно столбцов.

При вычислении ранга матрицы полезно применять к ней элементарные преобразования.

Пример. Вычислим ранг матрицы

3 2 1\

-1 -2 2 і

5 2 4 I '

7 0 0/

(1

4

0

1

2

9

V2

7

Вычтем из третьей строки четвертую, а из четвертой удвоен­ную первую. Тогда матрица А перейдет в

1 4     3 2     1 \

0 1-1-22

0 2-2-44

0-11 2 -2/

Теперь прибавим к последней строке вторую, а к третьей строке прибавим удвоенную четвертую:

1   4    3 2 1\ 0 1-1-22

ООО 00'

0   0    0 0 0/

Очевидно, последняя матрица имеет две линейно независимые строки. Поскольку ранг при сделанных преобразованиях не изменился, гА = 2.

При вычислении ранга матрицы полезен также следую­щий прием. Пусть найден ненулевой минор порядка /. Рас­смотрим только те миноры порядка /4-1, которые содержат этот минор "внутри себя". Если все эти миноры равны нулю, то и вообще все миноры порядка / + 1 равны нулю, и гд = /. Почему это так? Вспомним доказательство леммы о базовом миноре. Фактически мы использовали там лишь то, что все миноры порядка г + 1, "содержащие А0 внутри себя", равны нулю. Из этого мы вывели, что любые г 4- 1 строк линейно зависимы. В рассматриваемой сейчас ситуации это означает, что любые / 4-1 строк матрицы А линейно зависимы, а потому любой минор порядка / + 1 равен нулю.