§ 9. Специальные классы квадратных матриц

1. Симметричные и кососимметричные матрицы. Матри­ца А е М" называется симметричной, если А1 — А, матрица В называется кососимметричной (или антисимметричной), если В* = -В.

Всякую матрицу С € М" можно единственным образом представить в виде С — А + В, где А — симметричная, В — кососимметричная матрицы. Действительно, 2С — (С + С*) + [С - С1), и можно положить 2А = (С + С1), 2В = (С - С"). Очевидно, А = А\ В = -В*. С другой стороны, если С = А + В, где А — А* и В — -В\ то С1 = А* + В* = Л - В. Тем самым 2Л = С + С', 2В = С - С*, что показывает единственность представления.

Отметим некоторые свойства симметричных и кососимме-тричных матриц.

1. Если матрица А симметрична (кососимметрична), то и матрица сА также симметрична (соответственно, кососимме­трична).

2. Если две симметричные матрицы коммутируют, то их произведение симметрично: (АхА^)1 = А\А\ — А2А1 = А\А-1.

3. Собственные значения вещественной симметричной ма­трицы вещественны, а сами такие матрицы диагонализуемы. Это будет доказано в одной из последующих глав.

4. Диагональные элементы кососимметричных матриц равны нулю: Ьщ = —Ь^ь а потому Ькк — 0.

5. Для характеристического многочлена кососимметрич­ной матрицы верно соотношение (1В(Х) = (—1)"^в(—А). Дей­ствительно,

(1В{\) = (1е1 (В - XI) = 6еЬ (В - = сиЛ (-В - XI) = (-1)пек* (В + XI).

Тем самым, спектр кососимметричной матрицы симметричен относительно нуля: если ав(А) = 0, то и ов(—А) = 0. Кратно­сти ненулевых собственных значений А и — А также совпадают. Если п нечетно, то с!е1 В = — В, и нуль является собствен­ным значением матрицы В.

Упражнение. Проверьте, что произведение коммутирую­щих кососимметричных матриц есть симметричная матрица.

2. Эрмитовы матрицы. Напомним, что сопряженной1 к матрице ^ называется матрица /г*, для которой [^*]^ = По определению, матрица F е М" называется эрлштповой, если ^ = Р*. Для вещественных матриц понятия симметричности и эрмитовости совпадают, для комплексных это уже не так. В числе основных свойств эрмитовых матриц, отметим (пока без доказательства), что их собственные значения вещественны, а сами они диагонализуемы. Заметим также, что всякая матрица Г е М" (единственным образом) представима в виде Р = С + гН, где С и Я — эрмитовы матрицы. Достаточно положить 2С = Р + Р*, 2Ш = Р - Р*.

Следующие свойства предоставляется проверить читате­лю в качестве простых упражнений.

Упражнения. 1) Покажите, что диагональные элементы эрмитовых матриц вещественны.

2) Проверьте, что матрица, обратная к неособой эрмитовой матрице — эрмитова.

3) Покажите, что матрица гВ, где В — вещественная ко-сосимметричная матрица, эрмитова.

4) Докажите, что произведение коммутирующих эрмито­вых матриц — эрмитова матрица.

3. Ортогональные матрицы. Вещественная матрица V е Мп называется ортогональной, если выполнено любое из трех (а тогда и два остальных) равносильных друг другу условий

Равносильность этих условий вытекает из теоремы 7.1.

Отметим, что равенство У*У — I означает ортогональ­ность столбцов матрицы V:

1 Иногда используют равносильный термин "эрмитово-сопряженная" матрица.

У'У = 7,   УУ* = Г,   У'1 = У\

П

а равенство VV* — I аналогичным образом означает ортого­нальность строк матрицы V. Таким образом, ортогональность матрицы по столбцам (по строкам) влечет ее ортогональность по строкам (соответственно по столбцам).

Примером ортогональной матрицы при п — 2 является матрица

у — ( cos п    s'n п \ У — sin a   cos a J

описывающая поворот плоскости на угол а.

Отметим следующие свойства ортогональных матриц.

1. Единичная матрица ортогональна, так как Г = / = 1~\

2. Матрица, обратная к ортогональной, ортогональна. Дей­ствительно,

(v'yv-* = (vyv1 = vv' = /.

3. Произведение ортогональных матриц ортогонально :

(течте) = MvfxvM) = vi{viv,)v2 = v*rvt = i.

(Свойства 1—3 означают, что ортогональные матрицы образуют группу относительно матричного умножения; см. ниже п. 5).

4. Определитель ортогональной матрицы равен либо 1, либо —1. Действительно,

1 = det (V' V) = det V det V* = (det Vf.

5. Все собственные значения ортогональных матриц по модулю равны 1 (они, однако, не обязательно вещественны). Это свойство пока оставляем без доказательства.

Ортогональные матрицы с определителем, равным 1, на­зывают собственно ортогональными.

В пространстве М'! ортогональные матрицы описывают за­мены декартовых систем координат при сохранении начала координат. Действительно, пусть V|, V2, V3 — новая тройка ортов в R3. Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов координат vi, V2, относительно исходных ортов. Эта матри­ца, очевидно, ортогональна по столбцам. Условие, что матрицасобственно ортогональна, означает, что тройка векторов VI, V-,?., уз ориентирована так же, как исходная тройка ортов.

4. Унитарные матрицы. Комплексным аналогом орто­гональных матриц являются матрицы унитарные. Матрица II £ М" называется унитарной, если выполнено любое из трех равносильных условий:

и* и = /, и и* = /. и~{ = и*.

Всякая ортогональная матрица является унитарной, поскольку для вещественных матриц V1 — V*.

Отметим основные свойства унитарных матриц.

1. Столбцы (строки) унитарной матрицы ортогональны как комплексные векторы:

п п

иыйТ] - ^ ЩкЩ - Ьг}:,   г- 3 - 1.....п.

к=1 к=1

2. Единичная матрица унитарна.

3. Матрица, обратная к унитарной, унитарна.

4. Произведение унитарных матриц — унитарная матри­ца.

Свойства 2-4 проверяются так же, как аналогичные свой­ства ортогональных матриц. Мы предоставляем сделать это читателю самостоятельно.

5. Определитель унитарной матрицы по модулю равен 1, поскольку

1 = сил (и* и) =    и сы и* - ас* и ЗеП7.

Унитарные матрицы, определитель которых равен 1, называ­ются собственно унитарными.

6. Собственные значения унитарных матриц по модулю равны 1, а сами эти матрицы диагонализуемы. Это свойство будет доказано в одной из последующих глав.

5. Группы матриц. Приведем определение группы. Определение. Множество С называется группой, если

1. На б задана бинарная операция СхС-»С (называе­мая обычно умножением), которая ассоциативна: для любых а. Ь, с € С выполнено а(Ьс) = (аЬ)с.

2. Существует нейтральный элемент (единица) е € С такой что ае — еа — а для всех а € С?.

3. Для любого элемента а е (7 существует обратный элемент а-1: а-1 а = аоГ1 = е.

Умножение квадратных матриц ассоциативно и существу­ет нейтральный элемент — единичная матрица. Какое-либо множество матриц будет образовывать группу в том и толь­ко в том случае, когда оно замкнуто относительно умножения и вместе с каждой матрицей А содержит обратную матрицу А"1. Ясно, что все матрицы, входящие в группу, должны быть неособыми.

В качестве примеров укажем следующие группы матриц.

1. 0,(п) — группа всех неособых матриц порядка п,

2. 5Ь(п) — группа матриц порядка п с определителем, равным 1.

3. 0(п) — группа ортогональных матриц порядка п.

4. 50(п) — группа собственно ортогональных матриц по­рядка п.

5. и(п) — группа унитарных матриц порядка п.

6. Зи(п) — группа собственно унитарных матриц порядка

п.

7. Группа неособых верхнетреугольных (нижнетреуголь­ных) матриц.

Проверка того, что в каждом из перечисленных случаев указанное множество матриц действительно образует группу, не должно вызвать у читателя затруднений. Отметим, что использованные в примерах 1—6 обозначения являются стан­дартными.