§ 7. Обратная матрица. Формулы Крамера. Метод Гаусса

1. Понятие обратной матрицы. Пусть А € Мт'". Матрица В е Мп,т называется левой обратной для А, если В А — /„. Матрица С € Мп'т называется правой обратной для А, если АС — 1т. Сразу же отметим (см. ниже п. 2.6.1), что при т ф п матрица А € Мт п не может иметь одновременно левую и правую обратную. Иначе обстоит дело для квадратных матриц, о которых и пойдет речь до конца этой главы.

Пусть А € Мп и пусть существует левая обратная, В А — I. Тогда det А ф 0. Действительно, по теореме умножения опре­делителей, 1 = det I = det В det А, а потому dot А Ф 0. Анало­гично, если существует правая обратная, АС = I, то det Л ф 0. Матрицу с отличным от нуля определителем называют неосо­бой. Предположим теперь, что А б М" имеет как левую, так и правую обратные матрицы:

В А = АС = I. (1)

Тогда В = С. Действительно, В = BJ = В{АС) = {ВА)С = 1С — С. Далее, при условиях (1) как правая обратная, так и левая обратная, может быть только одна. Это следует из того, что, как мы видели, каждая левая обратная матрица совпадает с каждой правой обратной. Наконец, если выполнено (1), то В = С является двусторонней обратной матрицей. Такая матрица (если она есть) единственна. Ее обозначают через А-1 и называют просто обратной матрицей:

А~1А = АА~1 =1. (2)

Из (2) сразу следует, что существует (А-1)-1 = А. Отметим, что /_1 = /. Затем, если существуют А\1 и А21, то А\А2 имеет обратную и

(АхА2у] =Л^1АГ1. (3)

Действительно, (А^ A^l){AiA2) = А2Х{А^А\)А2 — А2ЧА2 = А2ХА2 = I и, аналогично, {А\А2){А2ХА^1) = I. Далее, вместе с А1 существует

(Л*)-1 = (А"1)'. (4)

поскольку из АА~Х — I следует (А~]уАг = I, а из А-1 А = / вытекает А^А"1)' = /. Аналогично проверяется, что

(А')-1 =(А-')\ (5)

Наконец, из (2) прямо следует равенство (det A~')(det А) = 1, а потому

det А-1 = (det А)"1. (6)

Наиболее содержательным результатом относительно обратных матриц является

Теорема 1. Пусть А е Мп. Следующие утверждения равносильны:

1) У матрицы А существует левая обратная.

2) У матрицы А существует правая обратная.

3) У матрицы А существует двусторонняя обратная

А'К

4) Матрица А — неособая: det А ф 0 .

Мы уже видели, что 1) =Ф- 4) и 2) => 4). Ясно также, что 3) 1) и 3) 2). Остается проверить, что 4) =*> 3). В отличие от предыдущих, последняя импликация доказывается на основании явной конструкции: для Л-1 в следующем пункте будут предъявлены формулы. Эти формулы, конечно, имеют самостоятельное значение.

2. Присоединенная матрица. Построение обратной для неособой матрицы. Будем исходить из формул (5.14), которые выпишем заново:

п л

<iijAkj = ^ OjiAjk = Stk det A,   i. к = 1,----п. (7)

i=i j=i

Здесь {aij} — А £ М", Ajk — алгебраическое дополнение эле­мента (ijfc матрицы А. Введем в рассмотрение матрицу А с элементами [А]^ = Akj- Таким образом, матрица А (ее называ­ют присоединенной для матрицы А) есть транспонированная матрица алгебраических дополнений для элементов матрицы А. Ясно, что соотношения (7) теперь можно записать в виде

АА — АА — (det А) I. (8)

Если матрица А — неособая, т. е. det А ф 0, то из (8) следует:

АХ — ХА = /.   где X = (det А) 1А. Таким образом.

А"1 = (det A)"1 A,   (det А ф U). (9)

Одновременно с (9) мы установили импликацию 4) 3) и этим закончили доказательство теоремы 1. Для обратной матрицы (9) выполнены соотношения (З)-(б).

Пример. Для неособых матриц второго порядка

3. Линейные системы с неособой квадратной матрицей коэффициентов. Формулы Крамера. Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными

а, 1 ж, + ах2Х2 + • • • + аыхп — /] а2\ХЛ + а22х2 + ... + а2пхп = /2

ап\ХХ + ап2х2 + ... + аппхп = /„. Систему (10) запишем в матричной форме

(10)

Ах = Ь    А € Мп, (11)

где х — столбец неизвестных величин, а f — столбец правых частей. Предположим, что матрица А — неособая,

о^А^О. (12)

Теорема 2. При условии (12) уравнение (11) имеет ре­шение х = А-1 Г при любой правой части f. Это решение единственно.

Доказательство. Действительно, Ах = А(А~^{) — (АА~Х^ = I-, т. е. х = A~1f — решение уравнения (11). Далее, если х — решение (11), то А~'(Ах) = А '£ (А~'А)х = А~*1 и х = А~^. Таким образом, решение единственно. •

Формула (9) для А 1 позволяет описать решение урав­нения (11) в более конкретной форме. Обозначим через Д* определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменойстолбца с номером А: столбцом Ї.

ац   а\2   ...   а^к і    /і    а\,к+і   ■■■ а1п

«21 я22 • • • 0-2,*:-1 /2 °'2,А:-| ] • • ■ «271 0,п\    ап2    ■ ■ ■    0-п,к-\    1п    ап,к+\    ■ ■ • «тт

к = 1.....п.

(13)

Теорема 3. (Формулы Крамера).

при условии (12) дается формулами

Решение системы (10)

х* = Д*/Д,   Д=сіеіЛ,   £ = !,.

(14)

Доказательство. В силу теоремы 2 и формулы (9),

п п

х.к = (А-1^ = Л"1 £[4уД = Д£ (15)

І-1

Сопоставим два выражения

Первое из них есть разложение по элементам столбца с

номером к. Поэтому второе есть разложение определителя Д* по элементам столбца с тем же номером. Отсюда следует, что правая часть в (15) совпадает с Дц/Д. •

Формулы Крамера (14) имеют, в основном, теоретическое значение. Если п велико, их использование в практических вычислениях невыгодно. К меньшему объему вычислений при­водят способы решения, опирающиеся на метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

4. Метод Гаусса. Рассмотрим систему (10) (в матричной записи — уравнение (11)) при условии (12). Будем опираться на следующее очевидное предложение.

Предложение 4. Система (10) перейдет в эквивалентную, если ее подвергнуть одному из следующих преобразований: 1) умножить одно из уравнений системы на ненулевую по­стоянную; 2) прибавить к одному из уравнений системы какую-либо линейную комбинацию остальных уравнений си­стемы; 3) поменять какие-либо уравнения системы места­ми.

Упомянутые в предложении 4 преобразования системы будем называть допустимыми. Легко понять, что условие (12) сохраняется при допустимых преобразованиях.

При записи и преобразованиях системы нет надобности явно выписывать неизвестные хи... ,хп. Достаточно выписать расширенную матрицу системы

ап а2\

в|2 Я22

Оп\ ап2

■ ■ Л\п

■ ■ «2п

■ • аГ1П

А/

(16)

и проводить допустимые преобразования над ее строками.

Теорема 5. Если допустимыми преобразованиями строк матрица (16) переведена в матрицу (7|Ь), то столбец Ъ есть решение уравнения (11).

Доказательство. Переводя матрицу (А\() допустимыми преобразованиями в матрицу (/|Ь), мы переведем уравнение (11) в эквивалентное уравнение 1х — Ъ. Это и означает, что Хк = Ьь к = 1,..., п. •

Опишем теперь общую схему метода Гаусса. Поскольку определитель матрицы системы (11) отличен от нуля, среди элементов ее первого столбца есть ненулевой. Перестановкой уравнений (строк расширенной матрицы) можно добиться того, чтобы ац ф0. После этого из второго уравнения вычтем пер­вое, умноженное на а^/ац, из третьего — первое, умноженное на ащ/ац и так далее. При таком преобразовании коэффи­циенты при хх во всех уравнениях, кроме первого, обратятся в нуль, то есть система перейдет в эквивалентную систему срасширенной матрицей вида

/ аи   а12   ... аы

О      а22     ... (І2п

V  0    а,,-}   ... апп 'Л

Определитель матрицы полученной системы отличен от ну­ля, а потому среди коэффициентов о22, •. • ,Оп2 есть ненуле­вой. Считая а,22 ф 0 (этого можно добиться перестановкой строк) и вычитая второе уравнение, умноженное на подхо­дящие множители, из всех последующих, мы исключим х2 из всех уравнений, начиная с третьего. Действуя подобным образом дальше, найдем, что исходная система эквивалентна системе с треугольной матрицей А и расширенной матрицей

/ «11

 

«13 •

• «1.П-1

«1п.

 

0

«22

«23 •

•    »2,п-1

«2п

к

0

0

«33 •

•   аз.п-1

«Зт>

0

и

0

•• «71-1,7.-1

«ті— 1 ,п

/п-1

V о

0

0

.. 0

 

1 I

Мы исключили из всех уравнений переменные с номерами, меньшими номера уравнения.   При этом      А ф 0, так что

ац«22 • • • «гш ф 0.

Описанная процедура носит название прямого хода метода Гаусса. Обратный ход заключается в том, чтобы допустимы­ми преобразованиями свести систему к системе с диагональной матрицей. Последнее уравнение системы теперь приняло вид ап„Хг, = /„, а потому хп = /п/а^п. Зная хп, из предпоследнего уравнения определяем х,,^: а„_1п_]хл_1 = /„_ ! - «„-^„х,,. Та­ким же образом последовательно вычисляем х„_2,... ,Х1. Этупроцедуру можно описать следующим образом, сперва из уравнений с номерами к — 1.....п—1 вычтем последнее, умно­женное на коэффициенты акп/а\т, тем самым исключив пе­ременную хп из всех уравнений системы, кроме последнего. Тогда система изобразится расширенной матрицей вида

/ «п     «12    О!.)     ...     Оі.п-і О

О    а22   а23   ...   22,п-1 О

ООО

V  О    О О

«л 1.П-1

О

О

Л \ Л

7„-і

Аналогичным образом вычитаем предпоследнее уравнение (оно содержит только переменную с подходящими множите-

лями из уравнений с номерами 1,..., п . — 2, исключая из них х„~\. Далее проводим описанную процедуру, пока из каждого уравнения не окажутся исключенными неизвестные с номера­ми, большими номера уравнения. Полученная система имеет диагональную матрицу, а расширенная матрица принимает вид

/ «11 О

О

«22

О О «Л

92

V 0     0     ...   апп   дп /

Отметим, что процедура обратного хода метода Гаусса не из­меняет диагональных элементов матрицы системы. Теперь можно разделить первое уравнение на ац ф 0, второе — на о22 и так далее. При этом получится система, эквивалентная исходной, с расширенной матрицей вида

/ 1 О О 1

\ о о

к)

(17)

По теореме 5 это означает, что Xk = bk, к = 1,...,п. Таким образом, метод Гаусса привел к решению исходной системы. При этом матрицу (17) можно записать в виде {I\A~lf).

Замечание. При выполнении допустимых преобразований над матрицей (A|f) все действия определялись лишь матрицей А. Вектор f оставался "пассивным" объектом преобразований.

5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса. На­чнем со следующей леммы.

Лемма 6. Пусть А <Е МтХ, В £ Л/' п, С <Е Мт-п. Пусть bi,...,b„ е Сг — последовательные столбцы матрицы В и Ci,...,c„ € Ст — последовательные столбцы матрицы С. Тогда равенство С — АВ равносильно соотношениям

ск = АЪк1   к = 1....,п. (18)

Доказательство. Произведение АВ строится по правилу "строка на столбец" (см. п. 1.4, формулы (1.9)). Это правило равносильно набору формул (18). •

Следствие 7. Пусть А е Мп, det А ф 0, и пусть ег,..., е„ — стандартные орты в С". Пусть ск — решение уравнения

Ack = ок, к = 1.....п, и пусть С = (cj____,с„)(с М"). Тогда

С = А-\

Доказательство.   Поскольку ск = А~1ек, к = 1.....п, и

/ = (еь ... ,еп), применима лемма б с заменой А на А"1 и В на /. Тогда С = А Ч = А'1. •

Будем теперь рассматривать матрицы класса Л/" 2", запи­сывая их в виде (А\В), где А. В € Мп.

Теорема 8. Пусть А е Мп, det А ф 0, и матрица (А\1) при­ведена допустимыми преобразованиями строк к виду (1\С). Тогда С = А~г.

Доказательство. Запишем исходную матрицу в виде (A|ei,... ,е„). Приводя ее допустимыми преобразованиями к виду (/(сь ..., с„), мы, в силу теоремы 5, одновременно най­дем все векторы с* = A~lGk, к — 1.....п.  Тогда следствие 7

означает, что (ci____,с„) — С ~ А"1. •

Формулировка теоремы 8 носит условный характер. Од­нако описанная в п.  4 схема метода Гаусса показывает, чтоприведение {А\1) к виду (ЦС) действительно возможно. При этом одновременно (ср. замечание в конце п. 4) вычисляются все столбцы матрицы С. Такая схема довольно экономна в вычислительном отношении.

(2   7 3\

Пример. А = I 3   9   4 1. Найдем матрицу А Расши-\1   5 Ъ)

ренная матрица системы для определения обратной матрицы имеет вид

 

 

Переставим третью строку на первое место, а из двух осталь­ных вычтем ее с коэффициентами 2 и 3 соответственно. По­лучим:

 

 

Теперь из третьей строки вычтем удвоенную вторую

 

 

Прямой ход завершен. Обратный ход: к первой и второй строкам прибавляем третью, умноженную на 3 и -3 соответ­ственно:

1

5

0

6

-3

0

-3

0

-5

3

0

0

1

-2

1

А теперь умножим первую строку на 3 и прибавим к ней вторую, умноженную на 5:

3

0

0

-7

6

0

-3

0

-5

3

0

0

1

-2

1

Умножим первую строку на 1/3, а вторую — на -1/3:

1 О О О 1 О О   0 1

-7/3 2 5/3 -1 -2 1

 

Правый блок последней матрицы есть А \

Упражнения. 1) Покажите, что решение матричного урав­нения АХ = В, где А, В £ М", Лег А ф 0, (равное X = А'1 В) может быть найдено преобразованием расширенной матрицы (А\В) к виду (1\Х).

2) Как решить матричное уравнение У А = В ?