§ 6. Односторонняя обратимость матриц

1. Односторонняя обратимость и ее связь с разреши­мостью линейных систем. Напомним (см. п. 1.7.1), что для А е Мт,п матрица В е Мп,т называется левой обратной, если ВА = /„. Матрица С € Mr,,m называется правой обратной, если АС = 1т. Обсудим условия существования односторон­них обратных матриц и свяжем эти условия со свойствами уравнений (2.2) и (2.3).

Предложение 1. Если матрица А имеет левую обрат­ную, то однородная система (2.3) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Если В А = I, то из (2.3) следует (ВА)г — О, а потому 2 = 0. •

Предложение 2. Если матрица А имеет правую обрат­ную, то неоднородная система (2.2) разрешима при любой правой части.

Доказательство. Пусть АС — I. Тогда вектор х = С( дает решение системы (2.2): Ах = [АС)£ — П = £ •

Доказанные предложения показывают, что правая обрат­ная матрица "отвечает" за существование (при любом 1) ре­шения системы Ах — {., а левая обратная — за единственность решения, коль скоро оно есть. Сопоставляя предложение 1 с теоремой 3.1, получаем

Предложение 3. Если матрица А € Мт п имеет левую обратную, то

га = п. (1)

Точно так же, предложение 2 вместе с теоремой 4.2 влечет Предложение 4. Если матрица А £ Мт,п имеет правую обратную, то

г А = т. (2)

Из (1) и (2) вытекает

Следствие 5. Двусторонняя обратимость возможна только для квадратных матриц.

2. Критерий односторонней обратимости. Для квадрат­ных матриц вопросы обратимости полностью решаются теоре­мой 1.7.1. Поэтому достаточно рассмотреть случай А £ Мт,п при тфп (хотя формальной необходимости в последнем усло­вии нет). Наша цель состоит в обращении предложений 3 и 4.

Предложение 6. При условии (1) матрица А е Л/"1™ обратима слева, а при условии (2) обратима справа.

Доказательство. Обсудим условие (1), считая п < т. Надопостроить матрицу В е Мп,т так, чтобы было

Выберем какие-либо п линейно независимых строк матрицы А. Пусть их номера (в порядке возрастания) 3\,...,зп. Со­ставленная из этих строк матрица класса Мп, очевидно, обра­тима. Построим обратную к ней матрицу. Последовательные столбцы обратной матрицы примем за столбцы матрицы В с номерами з\,..., Зп. Остальные т — п столбцов матрицы В бу­дем считать нулевыми. Легко понять, что тогда все равенства (3) выполнены.

Рассмотрим теперь случай условия (2). Тогда для матрицы А' равенство т> = т играет роль условия (1). Следовательно, найдется матрица В е Мт,п, такая что ВА* — 1т. Переходя к транспонированным матрицам, получим равенство АС = 1т при С — В*. •

3. Описание множества односторонних обратных. Бели гА = т < п, то правая обратная матрица заведомо не един­ственна. То же верно для левой обратной при условии гл = п < т. Здесь мы приведем полное описание множеств од­носторонних обратных матриц. При выводе соответствующих формул мы укажем лишь схему доказательства. Читателю рекомендуется восполнить подробности в качестве упражне­ния.

Начнем со случая г л — гп < п. Если Со — какая-либо правая обратная матрица для А € Л/"1'", то С — С0 + С, где <3 е А/" "" — произвольное решение матричного уравнения

Опишем множество этих решений. Сейчас я — п — гл = п — т > О, а потому однородное уравнение (2.3) имеет нетривиальные

фундаментальную систему решений уравнения (2.3) и пусть

АС = 0.

(4)

решения.     ПуСТЬ  СТОЛбцЫ Х[

х3 составляют какую-либо

г := (а!....,г9) Є АГ1''.

Тогда общее решение Є уравнения (4) имеет представление

с = гт, г є м

(5)

где матрица Г произвольна.

Пусть теперь гл=п<ти(т = тп — п. Если В0А = 1, то множество всех левых обратных матриц В имеет вид В — В0 4- І5, где Б є М" т — решение матричного уравнения И А = О. Последнее равносильно уравнению А О1 = 0, которое имеет вид (4). Поэтому для ІУ1 справедливо представление, аналогичное (5). В результате приходим к равенству

где матрица 2 е Мт " составлена из столбцов фундаменталь­ной системы решений для "транспонированного" однородного уравнения Аг = 0, а Г 6 Мп— произвольная матрица.

Упражнение. Проверьте, что всякая левая обратная ма­трица к матрице

Б = Г2Ї,

 

имеет вид

в =

-2 1 0 3/2   -1/2 0 )

+

сл -2с.[ С\ с2   -2п2 с,2 )

сл,с2 Є С.