§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей

Пусть т = п, то есть число уравнений равно числу неиз­вестных. Тогда числа а — т — г и я — п — г совпадают: я = а. Свойства разрешимости системы Ах = f зависят от того, явля­ется ли матрица А особой или нет. Именно, есть следующие две взаимоисключающие возможности (альтернатива).

1. Пусть dct А ф 0. Тогда г = m — п, я — а = 0. Существу­ет единственное решение х — A_1f системы Ах = f при любой правой части £ Однородная система Ах = 0 имеет только тривиальное решение z — 0.

2. Пусть det А = 0. Тогда г < п = m, s = а > 0. Однород­ная система имеет нетривиальные решения. Число линейно независимых решений равно я. Неоднородная система имеет решения, если выполнено ,ч условий разрешимости, наклады­ваемых на £ При этом ее решение не единственно: оно зависит от s произвольных постоянных.

Обычно противопоставление этих двух возможностей фор­мулируют в следующей "острой" форме.

Альтернатива Фредгольма . Для системы с квадратной матрицей либо решение неоднородной системы существует при любой правой части, либо существует нетривиальное решение однородной системы.