§ 4. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений

1. Критерий существования решения неоднородной си­стемы. Изучим теперь разрешимость неоднородной системы Ах = I", которую запишем в развернутом виде:

'   ахххг + ах2х2 + ■ ■ ■ + а1пхп - $х

«21X] + ЩзХч Н-----1- а2пхп = /2 , .

. «ггЛХ] + ато2^2 ~1----+ <1тт, хп = /т.

С системой (1) связываем матрицу системы А е Мт,п и рас­ширенную матрицу (А\Т) е Мтп+1 системы, т. е. матрицу

 

 

(

«и •

■ ахп

 

(А\() =

«21 •

■ а2п

к

 

\

ат\ ■

• ■ атп

Следующая теорема дает критерий существования решения системы (1).

Теорема 1 (Кронекера — Капелли). Для существования решения неоднородной системы (1) необходимо и достаточ­но, чтобы ранг расширенной матрицы (A\f) был равен рангу матрицы А:

UA\i)=rA. (2)

Доказательство. Для столбцов матрицы А используем обозначения (3.4). Тогда систему (1) можно записать в виде

ж,а, 4-х2а2 + ... + хпЭп = f, (3)

причем коэффициенты хк, к — 1,..., п, в (3) совпадают с коор­динатами решения х. Таким образом, существование решения у системы Ах = f равносильно тому, что столбец f линейно выражается через столбцы (3.4) матрицы А. Последнее озна­чает, что дописывая к матрице А столбец f, мы не изменяем ранга (в смысле определения 1.2), т. е. выполнено (2). •

Теорема Кронекера — Капелли дает "индивидуальный" критерий существования решения для заданной правой части £ Следующая теорема дает критерий разрешимости системы при любой правой части.

Теорема 2. Для того, чтобы при любом f е Ст суще­ствовало решение неоднородной системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен числу урав­нений т:

га = т. (4)

Доказательство сводится к прямой ссылке на предложе­ние 3, которое устанавливается ниже.

2. Условия разрешимости. Выясним, каким условиям надо подчинить правую часть f, чтобы выполнялось условие (2) и система имела решение. Для строк матрицы А используем обозначения (ср. § 1)

u)j = (e,-i   aj2   ■■■   а&),  j = 1,----m.

Пусть г = гА. Переставляя уравнения в системе, можно счи­тать, что первые г строк матрицы А линейно независимы, аостальные строки линейно зависят от них. Систему (1), оче­видно, можно записать в виде совокупности равенств

= Л.....и>тх = /г,шг+1х = /гН.....штх = /,„. (5)

Строки иг+і при г = 1.... ,71) — г линейно зависят от первых г строк, то есть найдутся такие числа 7у, что

(6)

Предложение 3. Пусть гл = г, первые г строк матрицы А линейно независимы, и выполнены соотношения (6). Тогда для существования решения системы (1) необходимо и до­статочно, чтобы правая часть £ удовлетворяла а — т — г условиям разрешимости

г .7=1

Доказательство. Необходимость. Пусть существует ре­шение х. Тогда выполнено (5). С учетом (6) имеем

Достаточностъ. Пусть выполнены соотношения (7). Вместе с (6) это означает, что строки расширенной матрицы (А\{) с номерами г 4-1,..., т линейно зависят от первых г строк. Следовательно, г^щ = гд, и, в силу теоремы 1, существует решение системы. •

Ясно, что теорема 2 следует из предложения 3 при <т = 0. Заметим также, что если число уравнений больше числа неизвестных т > п, то заведомо т > г и возникают условия разрешимости.

3. Структура общего решения. Итак, пусть выполнены соотношения (6) и условия разрешимости (7). Тогда исходная система (1) равносильна системе из первых г уравнений

' аиХ1 + апх2 Н-----г- а\пхп — /г

а2\Х] + аггХг Н----+ а2„жп = /2 ,„ч

. ОггХг + а,.2Х2 Н-----1- атпхп = /г.

Теперь согласованно переставим слагаемые (за счет перену­мерации неизвестных) в каждом уравнении так, чтобы минор, отвечающий матрице

 

был базовым, то есть Аа ф 0. Найдем частное решение х0 системы, полагая

хт+л = ... = ж71 = 0. (9)

Тогда неизвестные х\,.... хг найдутся из системы г уравнений с неособой матрицей А0:

 

 

 

 

 

/2

 

= V

 

\хг/

 

 

В силу теоремы 2.3, общее решение х неоднородной системы есть сумма частного решения хо и общего решения ъ однород­ной системы (см. (3.12))

л

X — х0 + ^Г^ с^-г/с,   и — п — т,   сь .. ., г:, е С. (10)

к=1

Итак, для разрешимости системы Ах = { из т уравнений с п неизвестными правая часть { должна быть подчиненаа = тп — г условиям разрешимости; при этом общее решение зависит от я = п — г произвольных постоянных.

Мы не касаемся здесь вычислительных схем для решения систем общего вида. Отметим лишь, что метод Гаусса, описан­ный в § 1.7 для систем с квадратной неособой матрицей, может быть перенесен и на общий случай.

Пример. Рассмотрим неоднородную систему

ж, — х2 + жз — х\ — 4 х\ + ж2 + 2х3 + Зх4 = 8 2х, + 4х2 + 5жз + ІОЖ4 =- 20.

Соответствующая однородная система была рассмотрена в кон­це § 3. Здесь г = 2, .ъ- = 2, <т = 1. Третья строка матрицы систе­мы есть линейная комбинация первых двух: шЛ — —и>і + Зш2. Условие разрешимости /3 = — /і + 3/2, очевидно, выполнено. Система равносильна системе двух уравнений

{х\ — х2 + Жз — Ж4 = 4 2х2 + хя + 4х4 = 4.

Полагая здесь х3 = х4 = 0, находим х\ = 6, х2 = 2. Тем самым найдено частное решение

Общее решение есть

х = Хо-г-с^! +с2г2 /6\

2

0

и)

 

+ с2

-2 0

V 1