§ 3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

1.   Критерий существования нетривиального решения.

Рассмотрим однородную систему

Аъ =0.

(1)

Критерий существования нетривиального решения дает сле­дующая теорема.

Теорема 1. Однородная система (1) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа неизвестных п:

ГА < П.

Доказательство. Систему (1) запишем в виде + 22а2 + ... + гпа„ — 0. где а* — столбцы матрицы А,

(2)

(3)

а*

\атк/

,   к = 1,..., п.

(4)

Если % — нетривиальное решение, то хотя бы одно из чисел гу ненулевое. Поэтому существование нетривиального реше­ния системы (1) равносильно линейной зависимости столбцов матрицы А, что, в свою очередь, равносильно неравенству (2). •

Следствие 2. Однородная система п уравнений с п не­известными имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы А равен нулю: с1е1 А = 0.

Следствие 3. Однородная система т, уравнений с п неиз­вестными при т < п всегда имеет нетривиальное решение.

Действительно, тогда г а < т < п.

2. Структура общего решения. Итак, пусть выполнено условие (2). Тогда существуют нетривиальные решения си­стемы (1). Опишем общее решение. Пусть г = гл. Переставим уравнения так, чтобы первые г строк матрицы А были линей­но независимыми. Остальные ти — г строк линейно зависят от первых г строк. Поэтому оставшиеся тп — г уравнений можно отбросить: они являются следствием первых г уравнений. За­тем согласованно переставим слагаемые в каждом уравнении так, чтобы в левом верхнем углу матрицы оказался базовый минор; такая перестановка отвечает перенумерации неизвест­ных. Матрицу получившейся системы снова обозначим через А б Мт,п. Система теперь принимает вид

<1ц XI + - ■ • + Ліг^г + «1,7 + 1 2г4 1 + • ■ ' + аЪ1*п = О

атХг\ + ... + Оггїг + ат,т+\гт+\ + • • • + = 0.

(5)

Используем обозначения

Матрица А0 соответствует базовому минору матрицы А, по­этому с!е1 А0 ф 0. Вектор неизвестных г € С" разделим на "две части" г е Сг, г е Сп~г:

 

Тогда систему (5) можно записать в виде

Айг + Съ = 0. (6)

Поскольку матрица Л0 обратима, то "зависимые" переменные г выражаются через "свободные" переменные 2:

ъ = -А1хСъ. (7) 38

Вектор свободных переменных г € С"_Г может быть выбран произвольно. Таким образом, общее решение однородной си­стемы имеет следующую структуру

ъ €

(8)

Мы видим, что при условии (2) существует бесконечно много нетривиальных решений однородной системы. Их множество параметризуется «-мерным вектором свободных неизвестных.

3. Фундаментальная система решений. Максимальный набор линейно независимых решений однородной системы на­зывается фундаментальной системой решений. Построим стандартную фундаментальную систему решений. Пусть

\0/

,е2 =

1

О

\1/

(9)

— стандартный набор ортов в С*. Подставляя ъ = в (8), получим в решений однородной системы

7>к

А^Сек^

,   А; = 1,.

(10)

Очевидно, векторы линейно независимы. Столбец г

можно записать в виде

схе\ + ... + с,е5,

(11)

где сь... ,с3 — координаты г в базисе (9). Из (8) и (10) тогда получаем, что общее решение можно представить в виде

С\Ъ\ + . . . + с.,2а, сь

, с, е С.

(12)

Это равенство и означает, что решения (10) образуют фун­даментальную систему решений (называемую "стандартной")системы (1). Общее решение (12) есть произвольная линейная комбинация решений из фундаментальной системы.

Если вместо стандартного базиса (9) использовать какой-либо другой базис в С (т.е. .ч линейно независимых векторов из С), то аналог формул (10) приведет нас к другой фун­даментальной системе решений. Через эту систему также можно записать общее решение ъ. Именно общее решение является инвариантом, не зависящим от конкретного выбора фундаментальной системы. Отметим, что даже стандартная фундаментальная система не инвариантна, поскольку в выборе свободных переменных есть произвол.

Пример. Рассмотрим однородную систему

Эта система заведомо имеет нетривиальные решения, посколь­ку 4 = и > т = 3. Найдем ранг матрицы

Вычитая из второй строки первую, а из третьей удвоенную вторую, получаем матрицу

с двумя одинаковыми строками. Очевидно, гА — 2. Исходная система равносильна системе из двух уравнений

\   222 + 23 + 424 = 0.

Число свободных переменных я = п — г = 2. Переменные 2з и г\ можно принять за свободные; г, и г2 через них выражаются:

2] — 22 + г3 — 24 = 0

2і + 22 + 2г3 + Зг,\ — 0 22, + 4г2 + 523 + 1024 = 0-

 

 

 

«1 = —^2,3 — 2),    22 = —-23 — 2г4.

Найдем стандартную фундаментальную систему решений. По­лагая 23 = 1, 24 = 0, получим z\ = —3/2, 22 = —1/2- Полагая же 23 — 0, 24 = 1, получим 2] = —1, 22 = —2. Таким образом, стандартная фундаментальная система решений есть

 

ъ2 -

 

Общее решение системы имеет вид

сіъх 4- с2г2 = с.

 

+ с2

-2 0

V і /

сь с2 Є С.